Utilizando a mudança de variáveis: , calcule a integral , onde é a região do plano delimitada por e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla sobre a região que está delimitada pelas retas , , e . Para facilitar essa integração, vamos usar uma mudança de variáveis: e . Isso vai ajudar a simplificar os limites da integral e a função que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a mudança de variáveis afeta a região . Vamos reescrever as equações das retas em termos de e :
  • se torna
  • se torna
  • se torna
  • se torna
Então, no novo sistema de coordenadas, a região é um retângulo com variando de 0 a 3 e de -1 a 2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o jacobiano dessa mudança de variáveis para ajustar a área na integral. O jacobiano é dado por:
Primeiro, vamos expressar e em termos de e :
Resolvendo esse sistema:
Agora, derivamos e em relação a e :
Então, o jacobiano é:

Passo 4

Com o jacobiano em mãos, podemos reescrever a integral original em termos de e . Lembrando que , a integral fica:
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração na nova região . Já vimos que varia de 0 a 3 e de -1 a 2. Então, a integral fica:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral:
Vamos integrar de 0 a 3:

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pelos coeficientes:

Resposta

A integral vale .

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Determine se o campo é conservativo. Caso afirmativo, encontre uma função tal que e calcule onde é um caminho de a .
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Calcule onde é o segmento de reta que liga o ponto ao ponto .
8.1-2 Determine a taxa de amostragem de Nyquist e o intervalo de amostragem de Nyquist para os sinais
(a)
(b)
©
(d)
Figura P8.1-1