Utilizando a mudança de variáveis: u=x+y, v=y-x, calcule a integral integral duplaR(x+y) d A, onde R é a região do plano delimitada por x+y=0, x+y=3, y=x-1 e y=x+2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla sobre a região que está delimitada pelas retas , , e . Para facilitar essa integração, vamos usar uma mudança de variáveis: e . Isso vai ajudar a simplificar os limites da integral e a função que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a mudança de variáveis afeta a região . Vamos reescrever as equações das retas em termos de e :
  • se torna
  • se torna
  • se torna
  • se torna
Então, no novo sistema de coordenadas, a região é um retângulo com variando de 0 a 3 e de -1 a 2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o jacobiano dessa mudança de variáveis para ajustar a área na integral. O jacobiano é dado por:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
Primeiro, vamos expressar u = x + y v = y - x e x = u - v2 y = u + v2 em termos de partial xpartial u = 12, partial xpartial v = -12 partial ypartial u = 12, partial ypartial v = 12 e J = 12 & -12 12 & 12 = (12 times 12) - (-12 times 12) = 14 + 14 = 12 :
Resolvendo esse sistema:
Agora, derivamos e em relação a e :
Então, o jacobiano é:

Passo 4

Com o jacobiano em mãos, podemos reescrever a integral original em termos de integral duplaR (x + y) , dA = integral duplaR' u cdot |J| , du , dv e integral duplaR' u cdot 12 , du , dv = 12 integral duplaR' u , du , dv . Lembrando que , a integral fica:
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração na nova região 12 integralu=0^3 integralv=-1^2 u , dv , du . Já vimos que integralv=-1^2 u , dv = u cdot [v]-1^2 = u (2 - (-1)) = 3u varia de 0 a 3 e de -1 a 2. Então, a integral fica:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral:
12 integral0^3 3u , du = 32 integral0^3 u , du
Vamos integrar integral0^3 u , du = [ u^22 ]0^3 = 92 - 0 = 92 de 0 a 3:

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pelos coeficientes:
32 times 92 = 274

Resposta

A integral vale .

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