Utilizando a mudança de variáveis: , calcule a integral , onde é a região do plano delimitada por e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla sobre a região que está delimitada pelas retas , , e . Para facilitar essa integração, vamos usar uma mudança de variáveis: e . Isso vai ajudar a simplificar os limites da integral e a função que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a mudança de variáveis afeta a região . Vamos reescrever as equações das retas em termos de e :
se torna
se torna
se torna
se torna
Então, no novo sistema de coordenadas, a região é um retângulo com variando de 0 a 3 e de -1 a 2.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o jacobiano dessa mudança de variáveis para ajustar a área na integral. O jacobiano é dado por:
Primeiro, vamos expressar e em termos de e :
Resolvendo esse sistema:
Agora, derivamos e em relação a e :
Então, o jacobiano é:
Passo 4
Com o jacobiano em mãos, podemos reescrever a integral original em termos de e . Lembrando que , a integral fica:
Substituindo :
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração na nova região . Já vimos que varia de 0 a 3 e de -1 a 2. Então, a integral fica: