Utilizando a mudança de variáveis: , calcule a integral , onde é a região do plano delimitada por e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla sobre a região que está delimitada pelas retas , , e . Para facilitar essa integração, vamos usar uma mudança de variáveis: e . Isso vai ajudar a simplificar os limites da integral e a função que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a mudança de variáveis afeta a região . Vamos reescrever as equações das retas em termos de e :
se torna
se torna
se torna
se torna
Então, no novo sistema de coordenadas, a região é um retângulo com variando de 0 a 3 e de -1 a 2.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o jacobiano dessa mudança de variáveis para ajustar a área na integral. O jacobiano é dado por:
Primeiro, vamos expressar u = x + y v = y - x e x = u - v2 y = u + v2 em termos de partial xpartial u = 12, partial xpartial v = -12 partial ypartial u = 12, partial ypartial v = 12 e J = 12 & -12 12 & 12 = (12 times 12) - (-12 times 12) = 14 + 14 = 12 :
Resolvendo esse sistema:
Agora, derivamos e em relação a e :
Então, o jacobiano é:
Passo 4
Com o jacobiano em mãos, podemos reescrever a integral original em termos de integral duplaR (x + y) , dA = integral duplaR' u cdot |J| , du , dv e integral duplaR' u cdot 12 , du , dv = 12 integral duplaR' u , du , dv . Lembrando que , a integral fica:
Substituindo :
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração na nova região 12 integralu=0^3 integralv=-1^2 u , dv , du . Já vimos que integralv=-1^2 u , dv = u cdot [v]-1^2 = u (2 - (-1)) = 3u varia de 0 a 3 e de -1 a 2. Então, a integral fica:
Primeiro, integramos em relação a :
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral:
12 integral0^3 3u , du = 32 integral0^3 u , du
Vamos integrar integral0^3 u , du = [ u^22 ]0^3 = 92 - 0 = 92 de 0 a 3: