Um relatório de uma companhia afirma que de toda a água obtida através de poços artesianos no NE é salobra. Como há controvérsias, 400 poços foram sorteados e observou-se em 120 deles água salobra. Qual seria a conclusão ao nível de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a porcentagem de água salobra obtida em poços artesianos no Nordeste. A companhia afirma que dessa água é salobra. Para verificar essa afirmação, foram sorteados 400 poços, e em 120 deles a água era salobra. Vamos usar conceitos de estatística para analisar se a afirmação da companhia está correta, especialmente com um nível de confiança de . Para isso, vamos precisar entender sobre teste de hipóteses para proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar.
  • Hipótese nula ( ): A proporção de água salobra é , ou seja, .
  • Hipótese alternativa ( ): A proporção de água salobra não é , ou seja, .
Estamos fazendo um teste bilateral porque queremos verificar se a proporção é diferente, seja maior ou menor que .

Passo 3

Vamos calcular a proporção observada na amostra. Foram sorteados 400 poços, dos quais 120 tinham água salobra. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o erro padrão da proporção sob a hipótese nula. A fórmula do erro padrão é:
Onde:
  • (proporção segundo a hipótese nula)
  • (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos calcular o valor do z-score, que nos diz quantos erros padrão a proporção observada está da hipotética proporção nula:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor crítico para o nível de significância de em um teste bilateral. Como é bilateral, dividimos a significância igualmente nos dois lados da distribuição normal:
Consultando a tabela da distribuição normal, o valor crítico para em cada cauda é aproximadamente .

Passo 7

Comparamos o z-score calculado com os valores críticos:
Como o z-score está além dos valores críticos, na região de rejeição, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com um nível de significância de , há evidências suficientes para rejeitar a afirmação da companhia de que da água obtida é salobra. Portanto, concluímos que a proporção de água salobra difere de .

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