Um relatório de uma companhia afirma que
de toda a água obtida através de poços artesianos no NE é salobra. Como há controvérsias, 400 poços foram sorteados e observou-se em 120 deles água salobra. Qual seria a conclusão ao nível de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a porcentagem de água salobra obtida em poços artesianos no Nordeste. A companhia afirma que
dessa água é salobra. Para verificar essa afirmação, foram sorteados 400 poços, e em 120 deles a água era salobra. Vamos usar conceitos de estatística para analisar se a afirmação da companhia está correta, especialmente com um nível de confiança de
. Para isso, vamos precisar entender sobre teste de hipóteses para proporções.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar.
- Hipótese nula (
): A proporção de água salobra é , ou seja, . - Hipótese alternativa (
): A proporção de água salobra não é , ou seja, .
Estamos fazendo um teste bilateral porque queremos verificar se a proporção é diferente, seja maior ou menor que
.
Passo 3
Vamos calcular a proporção observada na amostra. Foram sorteados 400 poços, dos quais 120 tinham água salobra. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o erro padrão da proporção sob a hipótese nula. A fórmula do erro padrão é:
Onde:
-
(proporção segundo a hipótese nula) -
(tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos calcular o valor do z-score, que nos diz quantos erros padrão a proporção observada está da hipotética proporção nula:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o valor crítico para o nível de significância de
em um teste bilateral. Como é bilateral, dividimos a significância igualmente nos dois lados da distribuição normal:
Consultando a tabela da distribuição normal, o valor crítico para
em cada cauda é aproximadamente
.
Passo 7
Comparamos o z-score calculado com os valores críticos:
Como o z-score está além dos valores críticos, na região de rejeição, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com um nível de significância de
, há evidências suficientes para rejeitar a afirmação da companhia de que
da água obtida é salobra. Portanto, concluímos que a proporção de água salobra difere de
.