Determine se o campo F(x, y)=(1+2 x y+e^2 x) i+x^2 j é conservativo. Caso afirmativo, encontre uma função f tal que nabla f=F e calcule integralC F cdot dr onde C é um caminho de (0,1) a (4,6).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um campo vetorial e precisa descobrir se ele é conservativo. Se for, a gente também procura uma função potencial tal que e, finalmente, calcular uma integral de linha ao longo de um caminho que vai de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo vetorial em duas dimensões é conservativo se ele for o gradiente de alguma função escalar . Para isso, precisamos verificar se as condições de igualdade das derivadas parciais se cumprem.

Passo 3

Especificamente, se partial Ppartial y = partial Qpartial x , então para ser conservativo, deve-se ter:
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo.

Passo 4

Calculando P = 1 + 2xy + e^2x partial Ppartial y = 2x :

Passo 5

Agora, calculando Q = x^2 partial Qpartial x = 2x :

Passo 6

Como , as condições para o campo ser conservativo são satisfeitas. Portanto, é de fato um campo conservativo.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a função potencial partial fpartial x = P = 1 + 2xy + e^2x partial fpartial y = Q = x^2 tal que . Isso significa que:

Passo 8

Integrando f(x, y) = integral (1 + 2xy + e^2x) , dx = x + x^2y + 12e^2x + g(y) em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 9

Agora, derivamos partial fpartial y = x^2 + g'(y) = x^2 em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos tomar essa constante como zero para simplificar.

Passo 10

Portanto, a função potencial é:
f(x, y) = x + x^2y + 12e^2x

Passo 11

Agora, para calcular a integral de linha integralC F cdot dr = f(4,6) - f(0,1) ao longo do caminho de a , usamos a propriedade de que, em campos conservativos, a integral depende apenas dos pontos inicial e final:

Passo 12

Calculando f(4,6) = 4 + (4)^2(6) + 12e^2 cdot 4 = 4 + 16 times 6 + 12e^8 = 4 + 96 + 12e^8 = 100 + 12e^8 :

Passo 13

Calculando f(0,1) = 0 + (0)^2(1) + 12e^2 cdot 0 = 0 + 0 + 12e^0 = 12 times 1 = 12 :

Passo 14

Finalmente, a integral de linha é:
integralC F cdot dr = (100 + 12e^8) - 12 = 100 + 12e^8 - 12 = 99.5 + 12e^8

Resposta

O campo f(x, y) = x + x^2y + 12e^2x é conservativo. A função potencial é:
integralC F cdot dr = 99.5 + 12e^8
E a integral de linha é:

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