Determine se o campo
é conservativo. Caso afirmativo, encontre uma função
tal que
e calcule
onde
é um caminho de
a
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
e precisa descobrir se ele é conservativo. Se for, a gente também procura uma função potencial
tal que
e, finalmente, calcular uma integral de linha ao longo de um caminho
que vai de
até
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo vetorial em duas dimensões é conservativo se ele for o gradiente de alguma função escalar
. Para isso, precisamos verificar se as condições de igualdade das derivadas parciais se cumprem.
Passo 3
Especificamente, se
, então para ser conservativo, deve-se ter:
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Agora, calculando
:
Passo 6
Como
, as condições para o campo ser conservativo são satisfeitas. Portanto,
é de fato um campo conservativo.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Passo 8
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 9
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos tomar essa constante como zero para simplificar.
Passo 10
Portanto, a função potencial é:
Passo 11
Agora, para calcular a integral de linha
ao longo do caminho
de
a
, usamos a propriedade de que, em campos conservativos, a integral depende apenas dos pontos inicial e final:
Passo 12
Calculando
:
Passo 13
Calculando
:
Passo 14
Finalmente, a integral de linha é:
Resposta
O campo
é conservativo. A função potencial é:
E a integral de linha é:
Exercícios relacionados
Calcule a área da parte que está acima do plano
da superfície obtida pela rotação em torno do eixo
da curva
.
Calcule a massa do hemisfério norte da esfera
, cuja densidade em um ponto
é igual a
.
Utilizando a mudança de variáveis:
, calcule a integral
, onde
é a região do plano delimitada por
e
.
Calcule
onde
é o segmento de reta que liga o ponto
ao ponto
.