Determine se o campo é conservativo. Caso afirmativo, encontre uma função tal que e calcule onde é um caminho de a .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um campo vetorial e precisa descobrir se ele é conservativo. Se for, a gente também procura uma função potencial tal que e, finalmente, calcular uma integral de linha ao longo de um caminho que vai de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo vetorial em duas dimensões é conservativo se ele for o gradiente de alguma função escalar . Para isso, precisamos verificar se as condições de igualdade das derivadas parciais se cumprem.

Passo 3

Especificamente, se , então para ser conservativo, deve-se ter:
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo.

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Agora, calculando :

Passo 6

Como , as condições para o campo ser conservativo são satisfeitas. Portanto, é de fato um campo conservativo.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:

Passo 8

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 9

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos tomar essa constante como zero para simplificar.

Passo 10

Portanto, a função potencial é:

Passo 11

Agora, para calcular a integral de linha ao longo do caminho de a , usamos a propriedade de que, em campos conservativos, a integral depende apenas dos pontos inicial e final:

Passo 12

Calculando :

Passo 13

Calculando :

Passo 14

Finalmente, a integral de linha é:

Resposta

O campo é conservativo. A função potencial é:
E a integral de linha é:

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