Calcule a massa do hemisfério norte da esfera
, cuja densidade em um ponto
é igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a massa do hemisfério norte da esfera definida por
, onde a densidade em cada ponto
é dada por
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, que basicamente soma todas as pequenas partes da massa distribuídas pelo hemisfério.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a massa total é a integral da densidade sobre o volume do hemisfério. Ou seja,
. Como a densidade é
, nossa integral fica
.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos mudar para coordenadas esféricas. Nessa coordenada, qualquer ponto no espaço é definido por três parâmetros:
(raio),
(ângulo no plano
) e
(ângulo em relação ao eixo
). As conversões são:
E o elemento de volume
em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração para o hemisfério norte. O raio
vai de 0 a 2 (já que a esfera tem raio
), o ângulo
vai de 0 a
(dando a volta completa no plano
) e o ângulo
vai de 0 a
(só até o meio esférico, que é o hemisfério norte).
Passo 5
Vamos montar a integral para a massa:
Simplificando, temos:
Passo 6
Vamos calcular cada parte da integral separadamente:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Resposta
Multiplicando tudo junto, a massa do hemisfério norte é:
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de toda a água obtida através de poços artesianos no NE é salobra. Como há controvérsias, 400 poços foram sorteados e observou-se em 120 deles água salobra. Qual seria a conclusão ao nível de
?
Suponha que queiramos testar
contra H 1 :
, onde
é a média de uma normal
. Extraída uma amostra de
elementos da população, obtemos
. Calcule o
-valor do teste.
Calcule a área da parte que está acima do plano
da superfície obtida pela rotação em torno do eixo
da curva
.
Determine se o campo
é conservativo. Caso afirmativo, encontre uma função
tal que
e calcule
onde
é um caminho de
a
.