Calcule a massa do hemisfério norte da esfera , cuja densidade em um ponto é igual a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a massa do hemisfério norte da esfera definida por , onde a densidade em cada ponto é dada por . Para isso, vamos usar o cálculo integral, que basicamente soma todas as pequenas partes da massa distribuídas pelo hemisfério.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a massa total é a integral da densidade sobre o volume do hemisfério. Ou seja, . Como a densidade é , nossa integral fica .

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos mudar para coordenadas esféricas. Nessa coordenada, qualquer ponto no espaço é definido por três parâmetros: (raio), (ângulo no plano ) e (ângulo em relação ao eixo ). As conversões são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração para o hemisfério norte. O raio vai de 0 a 2 (já que a esfera tem raio ), o ângulo vai de 0 a (dando a volta completa no plano ) e o ângulo vai de 0 a (só até o meio esférico, que é o hemisfério norte).

Passo 5

Vamos montar a integral para a massa:
Simplificando, temos:

Passo 6

Vamos calcular cada parte da integral separadamente:
  • Integral em :
  • Integral em :
  • Integral em :

Resposta

Multiplicando tudo junto, a massa do hemisfério norte é:

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