Calcule a área da parte da esfera
que está acima do plano
.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera definida pela equação
e um plano
. A tarefa é calcular a área da parte da esfera que fica acima desse plano. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria espacial e cálculo, especificamente sobre área de superfícies curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como o plano
corta a esfera. Vamos encontrar o círculo de interseção substituindo
na equação da esfera:
Esse é um círculo de raio
no plano
.
Passo 3
Agora, queremos calcular a área da parte da esfera que está acima desse plano. Essa região é chamada de “cúpula esférica”. A fórmula para a área de uma cúpula esférica é:
Onde:
-
é o raio da esfera. -
é a altura da cúpula esférica.
Passo 4
Precisamos determinar a altura
da cúpula esférica. A altura é a distância do plano
até o topo da esfera. Como o raio da esfera é
e o plano está localizado em
:
Passo 5
Agora que temos
, substituímos na fórmula da área:
Resposta
A área da parte da esfera acima do plano
é
.