Calcule a área da parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2 que está acima do plano z = 1.
Resp.: 2 * pi * (a^2 - a).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera definida pela equação e um plano . A tarefa é calcular a área da parte da esfera que fica acima desse plano. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria espacial e cálculo, especificamente sobre área de superfícies curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como o plano corta a esfera. Vamos encontrar o círculo de interseção substituindo na equação da esfera:
Esse é um círculo de raio no plano .

Passo 3

Agora, queremos calcular a área da parte da esfera que está acima desse plano. Essa região é chamada de “cúpula esférica”. A fórmula para a área de uma cúpula esférica é:
Onde:
  • é o raio da esfera.
  • é a altura da cúpula esférica.

Passo 4

Precisamos determinar a altura da cúpula esférica. A altura é a distância do plano até o topo da esfera. Como o raio da esfera é e o plano está localizado em :

Passo 5

Agora que temos , substituímos na fórmula da área:

Resposta

A área da parte da esfera acima do plano é .

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