Calcule a área da parte do plano z = 1000 + 3 x + 4 y interior ao cilindro
(x-51)^(2)+(y-13)^(2)=121
Resp.: 121 * raiz(26) * pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da parte do plano que está dentro do cilindro definido por . Vamos usar cálculo multivariável, especificamente integração dupla, para achar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o cilindro . Essa equação representa um círculo no plano com centro em e raio .

Passo 3

Como precisamos calcular a área do plano dentro desse cilindro, vamos considerar que a área será uma projeção sobre o plano . A fórmula para a área de uma superfície é dada por:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula da área:

Passo 6

Como é uma constante, podemos tirá-la da integral:

Passo 7

A integral representa a área da região , que é o círculo com centro em e raio . A área de um círculo é , então:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da área:

Resposta

A área da parte do plano dentro do cilindro é .

Exercícios relacionados