Calcule a área da parte do plano interior ao cilindro
Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da parte do plano que está dentro do cilindro definido por . Vamos usar cálculo multivariável, especificamente integração dupla, para achar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o cilindro . Essa equação representa um círculo no plano com centro em e raio .

Passo 3

Como precisamos calcular a área do plano dentro desse cilindro, vamos considerar que a área será uma projeção sobre o plano . A fórmula para a área de uma superfície é dada por:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula da área:

Passo 6

Como é uma constante, podemos tirá-la da integral:

Passo 7

A integral representa a área da região , que é o círculo com centro em e raio . A área de um círculo é , então:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da área:

Resposta

A área da parte do plano dentro do cilindro é .

Exercícios relacionados

Dados os números complexos e , faça o que se pede:
a) Marque no sistema de coordenadas os números complexos e .
Dados os números complexos e , faça o que se pede:
b) Encontre a soma e a multiplicação
Calcule a área da parte da esfera que está acima do plano .
Resp.: .
Calcule a área da parte do plano interior ao cilindro .
Resp.: .