Seja é a parte do cone situada entre os planos e . Encontre uma parametrização para e utilize-a para calcular a integral .
Resp.: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que trabalhar com uma parte do cone definido pela equação entre os planos e . Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para essa superfície e, usando essa parametrização, calcular a integral de superfície . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de geometria de superfícies e cálculo integral de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da superfície . A equação descreve um cone duplo com vértice na origem e simétrico em relação ao eixo . Como estamos interessados na parte entre e , vamos focar nessa parte específica do cone.
Passo 3
Para parametrizar essa superfície, é útil usar coordenadas cilíndricas, já que estamos lidando com um cone. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Aqui, é a distância radial e é o ângulo ao redor do eixo . Note que vem da equação do cone .
Passo 4
Agora, precisamos estabelecer os limites para e . Como varia de 1 a 2, e , então também varia de 1 a 2. O ângulo completa uma volta completa ao redor do cone, então varia de 0 a .
Passo 5
Então, nossa parametrização para r(r, theta) = ( r cos theta, ; r sin theta, ; r ) fica:
com e .
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de superfície . Primeiro, precisamos encontrar a expressão para , que é o elemento de área na superfície parametrizada.
Passo 7
Para encontrar rr = partial rpartial r = ( cos theta, ; sin theta, ; 1 ) , usamos o vetor normal à superfície, que é dado pelo produto vetorial das derivadas parciais da parametrização:
rtheta = partial rpartial theta = ( -r sin theta, ; r cos theta, ; 0 )
n = rr times rtheta = ( -r cos theta, ; -r sin theta, ; r )
| n | = raiz (-r cos theta)^2 + (-r sin theta)^2 + r^2 = raiz 2r^2 = r raiz2
A magnitude desse vetor é:
Então, .
Passo 8
Agora, vamos expressar a função x^2 + y^2 + z^2 = (r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 + r^2 = r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta + r^2 = 2r^2 em termos das nossas coordenadas parametrizadas:
Passo 9
Substituindo tudo na integral, temos:
integral duplaS (x^2 + y^2 + z^2) , dS = integral0^2pi integral1^2 2r^2 cdot r raiz2 , dr , dtheta = 2 raiz2 integral0^2pi integral1^2 r^3 , dr , dtheta