Seja é a parte do cone situada entre os planos e . Encontre uma parametrização para e utilize-a para calcular a integral .
Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que trabalhar com uma parte do cone definido pela equação entre os planos e . Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para essa superfície e, usando essa parametrização, calcular a integral de superfície . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de geometria de superfícies e cálculo integral de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da superfície . A equação descreve um cone duplo com vértice na origem e simétrico em relação ao eixo . Como estamos interessados na parte entre e , vamos focar nessa parte específica do cone.

Passo 3

Para parametrizar essa superfície, é útil usar coordenadas cilíndricas, já que estamos lidando com um cone. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Aqui, é a distância radial e é o ângulo ao redor do eixo . Note que vem da equação do cone .

Passo 4

Agora, precisamos estabelecer os limites para e . Como varia de 1 a 2, e , então também varia de 1 a 2. O ângulo completa uma volta completa ao redor do cone, então varia de 0 a .

Passo 5

Então, nossa parametrização para fica:
com e .

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de superfície . Primeiro, precisamos encontrar a expressão para , que é o elemento de área na superfície parametrizada.

Passo 7

Para encontrar , usamos o vetor normal à superfície, que é dado pelo produto vetorial das derivadas parciais da parametrização:
A magnitude desse vetor é:
Então, .

Passo 8

Agora, vamos expressar a função em termos das nossas coordenadas parametrizadas:

Passo 9

Substituindo tudo na integral, temos:

Passo 10

Vamos calcular as integrais:
Então, substituindo de volta:

Resposta

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Calcule a área da parte do plano interior ao cilindro .
Resp.: .
Calcule a área da parte da esfera que está acima do plano .
Resp.: .
Seja a parte do cilindro limitada pelos planos e .
(b) Encontre em cada ponto de , de modo que ele aponte para fora.
Seja a parte do cilindro limitada pelos planos e .
© Usando (a), determine a área da superfície .
Resp.: .