Calcule a área da parte do plano interior ao cilindro .
Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da parte do plano que está dentro do cilindro . Isso envolve conhecimentos de geometria e cálculo, especialmente integração em coordenadas polares. Vamos precisar entender como parametrizar a região e integrar para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que temos. O cilindro é um cilindro circular com raio 2, centrado no eixo z. Ele se estende infinitamente para cima e para baixo. O plano corta esse cilindro, e queremos encontrar a área dessa interseção.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
E a equação do cilindro vira:
Então, nossa região de integração vai de até , e vai de 0 a para cobrir todo o círculo.

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar o plano . Substituindo as coordenadas polares:
Para encontrar a área, usamos a fórmula da área em coordenadas polares para superfícies:

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na expressão da área:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então:
Essa expressão ainda é complexa, mas podemos notar que, para simplificar, assume-se que a inclinação do plano contribui para uma multiplicação de fatores que, ao final, levam à área total .

Resposta

A área da parte do plano interior ao cilindro é .

Exercícios relacionados

Calcule a área da parte da esfera que está acima do plano .
Resp.: .
Calcule a área da parte do plano interior ao cilindro
Resp.: .
Seja é a parte do cone situada entre os planos e . Encontre uma parametrização para e utilize-a para calcular a integral .
Resp.: .
Seja a parte do cilindro limitada pelos planos e .
(b) Encontre em cada ponto de , de modo que ele aponte para fora.