Considere a sequência definida pela recorrência , , . Justifique porque a sequência converge e porque seu limite é igual a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma sequência definida de forma recursiva: começamos com e cada termo seguinte é dado por . Nosso objetivo é entender por que essa sequência converge (ou seja, chega perto de um valor fixo conforme os termos aumentam) e por que esse valor fixo é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de sequências, limites e um pouquinho de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a sequência está aumentando ou diminuindo. Observando a relação , percebemos que estamos sempre somando ao termo anterior. Como o cosseno de um número entre 0 e é positivo, a sequência está sempre aumentando enquanto , porque nesse intervalo.

Passo 3

Agora, precisamos ver se a sequência está limitada, ou seja, se não cresce para sempre. Sabemos que diminui à medida que aumenta, já que a função cosseno diminui de 1 para 0 no intervalo de 0 a . Isso significa que cada aumento vai ficando menor conforme se aproxima de .

Passo 4

Com a sequência sendo crescente e limitada acima por , podemos aplicar o Teorema do Convergente Monótono, que diz que toda sequência monótona e limitada converge. Portanto, sabemos que vai se aproximar de algum limite .

Passo 5

Para encontrar esse limite , assumimos que a sequência converge para ele. Então, tomando o limite em ambos os lados da relação , temos:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

A equação tem soluções quando é igual a , , etc. Mas como nossa sequência está aumentando e começamos em 1, o primeiro valor que faz sentido é , já que é o menor valor positivo que satisfaz a equação e está dentro do intervalo onde a sequência estava crescendo.

Resposta

A sequência converge e seu limite é igual a .

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