Considere a sequência
definida pela recorrência
,
,
. Justifique porque a sequência converge e porque seu limite é igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma sequência definida de forma recursiva: começamos com
e cada termo seguinte é dado por
. Nosso objetivo é entender por que essa sequência converge (ou seja, chega perto de um valor fixo conforme os termos aumentam) e por que esse valor fixo é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de sequências, limites e um pouquinho de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a sequência está aumentando ou diminuindo. Observando a relação
, percebemos que estamos sempre somando
ao termo anterior. Como o cosseno de um número entre 0 e
é positivo, a sequência está sempre aumentando enquanto
, porque
nesse intervalo.
Passo 3
Agora, precisamos ver se a sequência está limitada, ou seja, se não cresce para sempre. Sabemos que
diminui à medida que
aumenta, já que a função cosseno diminui de 1 para 0 no intervalo de 0 a
. Isso significa que cada aumento
vai ficando menor conforme
se aproxima de
.
Passo 4
Com a sequência sendo crescente e limitada acima por
, podemos aplicar o Teorema do Convergente Monótono, que diz que toda sequência monótona e limitada converge. Portanto, sabemos que
vai se aproximar de algum limite
.
Passo 5
Para encontrar esse limite
, assumimos que a sequência converge para ele. Então, tomando o limite em ambos os lados da relação
, temos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
A equação
tem soluções quando
é igual a
,
, etc. Mas como nossa sequência está aumentando e começamos em 1, o primeiro valor que faz sentido é
, já que é o menor valor positivo que satisfaz a equação e está dentro do intervalo onde a sequência estava crescendo.
Resposta
A sequência converge e seu limite é igual a
.
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.