Este exercício trata da ordenação dos números reais e sua relação com as operações de soma, multiplicação e potências: Sabendo que 0 < a < 1 < b e a^2 * b > 1, coloque em ordem crescente os números a, a^2, b, b^2, 1/b.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que ordenar os números em ordem crescente, sabendo que e . Vamos precisar usar conhecimentos sobre ordenação de números reais e propriedades de potências e inversos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada número individualmente:
  1. : Sabemos que está entre 0 e 1.
  2. : Como , ao elevar ao quadrado, o valor fica ainda menor, ou seja, .
  3. : Tem um valor maior que 1.
  4. : Como , ao elevar ao quadrado, o valor fica ainda maior, .
  5. : O inverso de um número maior que 1 fica menor que 1, então .

Passo 3

Vamos usar a segunda informação: . Podemos rearranjar essa inequação para achar uma relação entre e :
Isso nos mostra que é maior que .

Passo 4

Agora, vamos resumir as comparações que temos:
  • (porque )
  • (porque )
E sabemos que e .

Passo 5

Vamos colocar tudo isso em ordem crescente:
  1. O menor número é .
  2. Em seguida vem .
  3. Depois temos .
  4. Depois .
  5. E o maior número é .

Resposta

A ordem crescente dos números é: .

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