Calcule a área da parte do plano z = 1 - x - y sobre a região x >= 0, y >= 0 e x + y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da parte do plano que está sobre a região definida por , e . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração dupla, onde vamos integrar a função que define o plano sobre a região dada.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região sobre a qual vamos calcular a área. A região está no primeiro quadrante, já que e são maiores ou iguais a zero, e é limitada pela linha . Isso forma um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1).

Passo 3

Agora, para calcular a área sobre essa região, vamos usar a integral dupla. A expressão geral para a área é:
Onde é a região de integração.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão da área, temos:
Como é constante, podemos simplificar a integral:

Passo 6

A integral representa a área da região , que como vimos, é um triângulo com base 1 e altura 1. A área desse triângulo é:
Áâ

Resposta

Portanto, a área da parte do plano sobre a região dada é:

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