Calcule a área da parte do plano
sobre a região
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da parte do plano
que está sobre a região definida por
,
e
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração dupla, onde vamos integrar a função que define o plano sobre a região dada.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região sobre a qual vamos calcular a área. A região está no primeiro quadrante, já que
e
são maiores ou iguais a zero, e é limitada pela linha
. Isso forma um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1).
Passo 3
Agora, para calcular a área sobre essa região, vamos usar a integral dupla. A expressão geral para a área
é:
Onde
é a região de integração.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão da área, temos:
Como
é constante, podemos simplificar a integral:
Passo 6
A integral
representa a área da região
, que como vimos, é um triângulo com base 1 e altura 1. A área desse triângulo é:
Resposta
Portanto, a área da parte do plano sobre a região dada é: