Mostre que
primeiro escrevendo a integral como uma integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral
é igual a
. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias e técnicas para simplificá-las. Para resolver isso, vamos escrever a integral como uma integral iterada, ou seja, uma integral dentro de outra integral. Vamos precisar entender um pouco sobre funções arctangentes e manipulação de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a diferença entre duas funções arctangentes pode ser expressa como uma integral. Sabemos que:
Isso porque a derivada de
em relação a
é
. Então, a diferença de arctan pode ser representada como a integral dessa derivada de
a
.
Passo 3
Substituindo essa expressão na integral original, temos:
Agora, nossa missão é trocar a ordem de integração para facilitar o cálculo. Isso é conhecido como troca de ordem de integração em integrais iteradas.
Passo 4
Para trocar a ordem das integrais, precisamos entender a região de integração. Atualmente,
varia de 0 a
e, para cada
,
varia de
a
. Vamos desenhar isso no plano
:
-
vai de 0 a - Para cada
, vai de a
Isso significa que
sempre é múltiplo de
entre 1 e
. Portanto, podemos reescrever a região de integração em termos de
:
-
vai de 0 a - Para cada
, vai de a
Assim, trocamos a ordem das integrais:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
:
A integral de
em relação a
é
, então:
Passo 6
Substituindo de volta na integral externa, temos:
Como
é uma constante em relação a
, podemos fatorá-la para fora da integral:
Passo 7
Agora, precisamos resolver a integral
. Essa é uma integral conhecida:
Resposta
Substituindo de volta, temos:
Portanto,