Mostre que
integral0^infty arctg pi x-arctg xx d x=pi2 ln pi
primeiro escrevendo a integral como uma integral iterada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral
integral0^infty arctan (pi x) - arctan (x)x , dx = pi2 ln pi
é igual a . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias e técnicas para simplificá-las. Para resolver isso, vamos escrever a integral como uma integral iterada, ou seja, uma integral dentro de outra integral. Vamos precisar entender um pouco sobre funções arctangentes e manipulação de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a diferença entre duas funções arctangentes pode ser expressa como uma integral. Sabemos que:
arctan (pi x) - arctan (x) = integralx^pi x 11 + t^2 , dt
Isso porque a derivada de em relação a é . Então, a diferença de arctan pode ser representada como a integral dessa derivada de a .

Passo 3

Substituindo essa expressão na integral original, temos:
integral0^infty arctan (pi x) - arctan (x)x , dx = integral0^infty 1x ( integralx^pi x 11 + t^2 , dt ) dx
Agora, nossa missão é trocar a ordem de integração para facilitar o cálculo. Isso é conhecido como troca de ordem de integração em integrais iteradas.

Passo 4

Para trocar a ordem das integrais, precisamos entender a região de integração. Atualmente, integral0^infty integralx^pi x 1x(1 + t^2) , dt , dx = integral0^infty integraltpi^t 1x(1 + t^2) , dx , dt varia de 0 a e, para cada , varia de a . Vamos desenhar isso no plano :
  • vai de 0 a
  • Para cada , vai de a
Isso significa que sempre é múltiplo de entre 1 e . Portanto, podemos reescrever a região de integração em termos de :
  • vai de 0 a
  • Para cada , vai de a
Assim, trocamos a ordem das integrais:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a integraltpi^t 1x , dx :
integraltpi^t 1x , dx = ln t - ln ( tpi ) = ln t - ln t + ln pi = ln pi
A integral de em relação a é , então:

Passo 6

Substituindo de volta na integral externa, temos:
integral0^infty ln pi1 + t^2 , dt
Como ln pi integral0^infty 11 + t^2 , dt é uma constante em relação a , podemos fatorá-la para fora da integral:

Passo 7

Agora, precisamos resolver a integral integral0^infty 11 + t^2 , dt = arctan t g|0^infty = pi2 - 0 = pi2 . Essa é uma integral conhecida:

Resposta

Substituindo de volta, temos:
ln pi cdot pi2 = pi2 ln pi
Portanto,
integral0^infty arctan (pi x) - arctan (x)x , dx = pi2 ln pi

Exercícios relacionados