use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial com condições iniciais que precisamos resolver usando a transformada de Laplace. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas duas partes da equação e usar as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.
Aplicando a transformada, temos:
Passo 3
Vamos lembrar como fica a transformada de Laplace das derivadas:
Substituindo na equação:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Sabemos que:
Então:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão para
. Primeiro, podemos fatorar o denominador:
Então:
Explicando isso:
- Multiplicamos
por para combinar os termos no numerador. -
Substituindo:
Passo 7
Agora, vamos decompor frações parciais para facilitar a inversão da transformada de Laplace. Precisamos encontrar constantes
,
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Para encontrar as constantes
,
e
, escolhemos valores estratégicos de
:
-
:
-
:
-
:
Passo 9
Agora que temos
,
e
, podemos escrever:
Passo 10
Vamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar
:
Sabemos que:
Aplicando isso:
Resposta
A solução da equação diferencial é: