use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+infinito) y'' - 9 y' = 5 e^(-2 t), y(0) = 1, y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial com condições iniciais que precisamos resolver usando a transformada de Laplace. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas duas partes da equação e usar as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.
Aplicando a transformada, temos:

Passo 3

Vamos lembrar como fica a transformada de Laplace das derivadas:
Substituindo na equação:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos resolver para :
Sabemos que:
Então:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão para . Primeiro, podemos fatorar o denominador:
Então:
Explicando isso:
  • Multiplicamos por para combinar os termos no numerador.
Substituindo:

Passo 7

Agora, vamos decompor frações parciais para facilitar a inversão da transformada de Laplace. Precisamos encontrar constantes , e tais que:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Para encontrar as constantes , e , escolhemos valores estratégicos de :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 9

Agora que temos , e , podemos escrever:

Passo 10

Vamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar :
Sabemos que:
Aplicando isso:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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