use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+infinito) y'' - y' - 2y = t, y(0) = 0, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. Temos a equação:
com as condições iniciais e . Para resolver isso, precisamos conhecer a Transformada de Laplace e suas propriedades, que nos ajudam a transformar equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, tornando-as mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que:
Como e , as expressões ficam mais simples.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Substituindo pelas transformadas:
Simplificando:

Passo 4

Fatorando na equação:
Agora, isolamos :

Passo 5

Vamos fatorar o denominador :
Portanto, a expressão para fica:

Passo 6

Para facilitar a inversão da Transformada de Laplace, vamos decompor em frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 7

Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação para encontrar os valores de e :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
    Substituindo na equação original:

Passo 8

Agora que encontramos todos os valores:
Então, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 9

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
Aplicando isso aos termos:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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