use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. Temos a equação:
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, precisamos conhecer a Transformada de Laplace e suas propriedades, que nos ajudam a transformar equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, tornando-as mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que:
Como
e
, as expressões ficam mais simples.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Substituindo pelas transformadas:
Simplificando:
Passo 4
Fatorando
na equação:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Vamos fatorar o denominador
:
Portanto, a expressão para
fica:
Passo 6
Para facilitar a inversão da Transformada de Laplace, vamos decompor
em frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 7
Agora, escolhemos valores de
que simplificam a equação para encontrar os valores de
e
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Substituindo na equação original:
Passo 8
Agora que encontramos todos os valores:
Então, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 9
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
Aplicando isso aos termos:
Resposta
A solução da equação diferencial é: