Calcule a área da superfície cilíndrica sobre a região e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de cálculo de área de superfície! O enunciado pede para calcular a área da superfície cilíndrica definida por sobre a região onde e .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de superfície, especificamente para superfícies definidas por funções .
O que vamos precisar: Conhecimento sobre como calcular a área de uma superfície usando integrais duplas e entender as derivadas parciais para aplicar na fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área de uma superfície definida por . A fórmula geral é:
Aqui, é a região no plano sobre a qual estamos calculando a área.
No nosso caso, a função é . Então, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais de :
Pois não depende de .
Substituindo essas derivadas na fórmula da área:
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região . O enunciado nos dá:
Isso significa que para cada valor de entre 0 e 2, varia de 0 até . Então, vamos configurar a integral dupla:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Então, a integral para a área fica:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja: