Calcule a área da superfície cilíndrica z = 1/2 x^2 sobre a região 0 <= y <= x e x <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de cálculo de área de superfície! O enunciado pede para calcular a área da superfície cilíndrica definida por sobre a região onde e .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de superfície, especificamente para superfícies definidas por funções .
O que vamos precisar: Conhecimento sobre como calcular a área de uma superfície usando integrais duplas e entender as derivadas parciais para aplicar na fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área de uma superfície definida por . A fórmula geral é:
Aqui, é a região no plano sobre a qual estamos calculando a área.
No nosso caso, a função é . Então, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de :
Pois não depende de .
Substituindo essas derivadas na fórmula da área:

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região . O enunciado nos dá:
Isso significa que para cada valor de entre 0 e 2, varia de 0 até . Então, vamos configurar a integral dupla:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Então, a integral para a área fica:

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja:
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, vamos integrar :
Sabendo que e :

Resposta

A área da superfície é .

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