Calcule a área da parte do plano z = 2 - x - y sobre a região x^2 + y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área da parte do plano que está sobre a região . Isso envolve conceitos de cálculo de integrais duplas e área de superfícies no espaço. Vamos precisar usar a fórmula da área de superfície para uma função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, lembremos que para encontrar a área de uma superfície definida por sobre uma região no plano , usamos a seguinte fórmula:
Á
No nosso caso, a função é .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula da área:
Á
Á
Á
Isso simplifica para:
Á

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região , que é o círculo .
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e , com variando de 0 a 1 e de 0 a .
Na mudança para coordenadas polares, o elemento de área se transforma em .

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
Á
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :

Passo 7

Agora, calculamos a integral externa em relação a :
Á
Á
Á

Resposta

A área da parte do plano sobre a região é .

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