Calcule a área da parte do plano
sobre a região
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área da parte do plano
que está sobre a região
. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais duplas e área de superfícies no espaço. Vamos precisar usar a fórmula da área de superfície para uma função de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, lembremos que para encontrar a área de uma superfície definida por
sobre uma região
no plano
, usamos a seguinte fórmula:
No nosso caso, a função é
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula da área:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região
, que é o círculo
.
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
, com
variando de 0 a 1 e
de 0 a
.
Na mudança para coordenadas polares, o elemento de área
se transforma em
.
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, calculamos a integral externa em relação a
:
Resposta
A área da parte do plano
sobre a região
é
.