use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O que temos aqui é uma equação de segunda ordem com condições iniciais. Para resolver, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas derivadas e usar algumas propriedades básicas dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial:
Agora, precisamos lembrar das transformadas das derivadas:
- Para
:
- Para
:
- E para
:
Passo 3
Vamos substituir as condições iniciais
e
nas transformadas das derivadas:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace do lado direito. Sabemos que:
Então, para
:
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Isolando
:
Passo 6
Vamos simplificar
fatorando:
Então, temos:
Agora, para encontrar
, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace em cada termo. Isso pode envolver frações parciais e utilizar tabelas de transformadas conhecidas.
Resposta
Após simplificar e aplicar a Transformada Inversa de Laplace, a solução para a equação diferencial é: