use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+infinito) y'' + y' - 2y = 5 e^(-t) sen(2t), y(0) = 1, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O que temos aqui é uma equação de segunda ordem com condições iniciais. Para resolver, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas derivadas e usar algumas propriedades básicas dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial:
Agora, precisamos lembrar das transformadas das derivadas:
  • Para :
  • Para :
  • E para :

Passo 3

Vamos substituir as condições iniciais e nas transformadas das derivadas:
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace do lado direito. Sabemos que:
Então, para :

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
Isolando :

Passo 6

Vamos simplificar fatorando:
Então, temos:
Agora, para encontrar , precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace em cada termo. Isso pode envolver frações parciais e utilizar tabelas de transformadas conhecidas.

Resposta

Após simplificar e aplicar a Transformada Inversa de Laplace, a solução para a equação diferencial é:

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