Calcule a integral de superfície
, sendo dados:
e
a superfície
.
Passo 1
Vamos resolver a integral de superfície
, onde
e
é a parte da esfera
com
. Aqui, estamos trabalhando com integração sobre superfícies e usaremos coordenadas esféricas para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. É uma parte da esfera com raio
(
) onde a coordenada
é maior ou igual a
. Para descrever isso em coordenadas esféricas, sabemos que
. Como
e
, temos:
Portanto, o ângulo
varia de
a
.
Passo 3
A função
em coordenadas esféricas fica:
Como
, temos:
Passo 4
A área de superfície em coordenadas esféricas é dada por
. Substituindo
:
Passo 5
Agora, montamos a integral:
Passo 6
Primeiro, resolvemos a integral interna em
:
Usando a identidade
e substituição
,
:
Passo 7
Agora, a integral externa em
:
Resposta
A integral de superfície vale
.