Calcule a integral de superfície integral duplaS g(x, y, z) d S, sendo dados:
g(x, y, z)=x^2+y^2 e S a superfície x^2+y^2+z^2=4, z >= 1.

Passo 1

Vamos resolver a integral de superfície , onde e é a parte da esfera com . Aqui, estamos trabalhando com integração sobre superfícies e usaremos coordenadas esféricas para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície 2 cosphi >= 1 implies cosphi >= 12 implies phi <= pi3 . É uma parte da esfera com raio ( ) onde a coordenada é maior ou igual a . Para descrever isso em coordenadas esféricas, sabemos que . Como e , temos:
Portanto, o ângulo varia de a .

Passo 3

A função x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta Rightarrow x^2 + y^2 = rho^2 sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) = rho^2 sin^2phi em coordenadas esféricas fica:
g(x, y, z) = 4 sin^2phi
Como , temos:

Passo 4

A área de superfície em coordenadas esféricas é dada por dS = 4 sinphi , dphi , dtheta . Substituindo :

Passo 5

Agora, montamos a integral:
integral duplaS g(x, y, z) , dS = integral0^2pi integral0^pi3 4 sin^2phi cdot 4 sinphi , dphi , dtheta = 16 integral0^2pi integral0^pi3 sin^3phi , dphi , dtheta

Passo 6

Primeiro, resolvemos a integral interna em integral0^pi3 sin^3phi , dphi :
-integral1^12 (1 - u^2) , du = integral12^1 (1 - u^2) , du = [ u - u^33 ]12^1 = (1 - 13) - (12 - 124) = 23 - 1124 = 524
Usando a identidade e substituição , :

Passo 7

Agora, a integral externa em 16 integral0^2pi 524 , dtheta = 8024 integral0^2pi dtheta = 103 cdot 2pi = 20pi3 :

Resposta

A integral de superfície vale .

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