Determine a área da superfície dada pela parte do gráfico de z = y + x^2 / 2 que se projeta sobre o quadrado do plano x y de vértices (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0) e (0, 1, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um problema de cálculo envolvendo a área de uma superfície. O enunciado pede para determinar a área da parte do gráfico da função que está acima de um quadrado no plano com vértices em , , e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de áreas de superfícies através de integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a área de uma superfície definida por uma função . A fórmula geral para a área dessa superfície sobre uma região no plano é:
Essa fórmula vem do fato de que, para cada ponto na região , estamos somando infinitesimais de área que consideram a inclinação da superfície.

Passo 3

Vamos identificar nossa função . No caso, temos:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, podemos substituir na fórmula da área:

Passo 5

Agora, nossa região é o quadrado com e variando de 0 a 1. Então, os limites do integral são de 0 a 1 para e de 0 a 1 para . Note que a função não depende de , então podemos simplificar o cálculo:
Integrando em :

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral . Essa é uma integral que pode ser resolvida usando substituição trigonométrica ou hiperbólica, mas para simplificar, vamos utilizar uma fórmula padrão:
No nosso caso, , então:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então, a área é:

Resposta

A área da superfície é .

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