Determine a área da superfície dada pela parte do gráfico de
que se projeta sobre o quadrado do plano
de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um problema de cálculo envolvendo a área de uma superfície. O enunciado pede para determinar a área da parte do gráfico da função
que está acima de um quadrado no plano
com vértices em
,
,
e
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de áreas de superfícies através de integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a área de uma superfície definida por uma função
. A fórmula geral para a área
dessa superfície sobre uma região
no plano
é:
Essa fórmula vem do fato de que, para cada ponto na região
, estamos somando infinitesimais de área que consideram a inclinação da superfície.
Passo 3
Vamos identificar nossa função
. No caso, temos:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, podemos substituir na fórmula da área:
Passo 5
Agora, nossa região
é o quadrado com
e
variando de 0 a 1. Então, os limites do integral são de 0 a 1 para
e de 0 a 1 para
. Note que a função
não depende de
, então podemos simplificar o cálculo:
Integrando em
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral
. Essa é uma integral que pode ser resolvida usando substituição trigonométrica ou hiperbólica, mas para simplificar, vamos utilizar uma fórmula padrão:
No nosso caso,
, então:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então, a área é:
Resposta
A área da superfície é
.