Seja a parte do cilindro limitada pelos planos e .
(b) Encontre em cada ponto de , de modo que ele aponte para fora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma parte de um cilindro dado pela equação , limitada pelos planos e . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o vetor normal em cada ponto dessa superfície , de forma que ele aponte para fora do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um vetor normal. Em termos simples, o vetor normal é aquele que é perpendicular à superfície em cada ponto. No caso de um cilindro, esse vetor aponta radialmente para fora ou para dentro, dependendo de como a gente define.

Passo 3

Como estamos trabalhando com o cilindro , podemos pensar nele como tendo raio 2. Uma forma prática de encontrar o vetor normal é usando o gradiente da função que define o cilindro. A função que descreve nosso cilindro é .

Passo 4

O gradiente de , denotado por , nos dá o vetor normal à superfície. Calculando o gradiente:
Esse vetor é perpendicular ao cilindro em cada ponto.

Passo 5

Agora, queremos que o vetor normal aponte para fora do cilindro. Observando o vetor , percebemos que ele já está apontando radialmente para fora, já que as componentes e apontam na direção positiva das coordenadas e , respectivamente.

Passo 6

Apesar de termos o vetor normal, podemos simplificá-lo dividindo por 2 para facilitar, ficando assim:
Esse é o vetor normal à superfície do cilindro, apontando para fora.

Resposta

O vetor normal em cada ponto de , apontando para fora, é .

Exercícios relacionados

Seja é a parte do cone situada entre os planos e . Encontre uma parametrização para e utilize-a para calcular a integral .
Resp.: .
Calcule a área da parte do plano interior ao cilindro .
Resp.: .
Seja a parte do cilindro limitada pelos planos e .
© Usando (a), determine a área da superfície .
Resp.: .
Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral
em que é a interseção do parabolóide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Resp.: .