Seja
a parte do cilindro
limitada pelos planos
e
.
(b) Encontre
em cada ponto de
, de modo que ele aponte para fora.
(b) Encontre
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma parte de um cilindro dado pela equação
, limitada pelos planos
e
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o vetor normal
em cada ponto dessa superfície
, de forma que ele aponte para fora do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um vetor normal. Em termos simples, o vetor normal é aquele que é perpendicular à superfície em cada ponto. No caso de um cilindro, esse vetor aponta radialmente para fora ou para dentro, dependendo de como a gente define.
Passo 3
Como estamos trabalhando com o cilindro
, podemos pensar nele como tendo raio 2. Uma forma prática de encontrar o vetor normal é usando o gradiente da função que define o cilindro. A função que descreve nosso cilindro é
.
Passo 4
O gradiente de
, denotado por
, nos dá o vetor normal à superfície. Calculando o gradiente:
Esse vetor
é perpendicular ao cilindro em cada ponto.
Passo 5
Agora, queremos que o vetor normal aponte para fora do cilindro. Observando o vetor
, percebemos que ele já está apontando radialmente para fora, já que as componentes
e
apontam na direção positiva das coordenadas
e
, respectivamente.
Passo 6
Apesar de termos o vetor normal, podemos simplificá-lo dividindo por 2 para facilitar, ficando assim:
Esse é o vetor normal à superfície
do cilindro, apontando para fora.
Resposta
O vetor normal em cada ponto de
, apontando para fora, é
.
Exercícios relacionados
Seja
é a parte do cone
situada entre os planos
e
. Encontre uma parametrização para
e utilize-a para calcular a integral
.
Resp.: .
Resp.:
Calcule a área da parte do plano
interior ao cilindro
.
Resp.: .
Resp.:
Seja
a parte do cilindro
limitada pelos planos
e
.
© Usando (a), determine a área da superfície .
Resp.: .
© Usando (a), determine a área da superfície
Resp.:
Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral
em que
é a interseção do parabolóide
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Resp.: .
Resp.: