Considere a EDO(x+3) y'' + (x+2) y' - y = 0.
a) Encontre uma solução da EDO acima da forma y1(x) = e^(r x).
b) Encontre uma solução da EDO que seja uma função de primeiro grau.
c) Encontre a solução geral da EDO.
d) Encontre a solução do PVI
(x+3) y'' + (x+2) y' - y = 0, y(1) = 1, y'(1) = 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem:
O que queremos fazer aqui é encontrar soluções para essa equação. Vamos precisar usar um pouco de cálculo diferencial e técnicas de solução de EDOs. Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte a) A gente vai procurar uma solução na forma . Isso significa que vamos supor que a solução tem essa forma e descobrir qual valor de faz essa igualdade funcionar.
Primeiro, vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , e na EDO:
Podemos fatorar :
Como nunca é zero, podemos igualar o que está entre colchetes a zero:
Isso é uma equação que depende de . Para que isso seja válido para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Vamos igualar os coeficientes:
Da primeira equação, implica .
Substituindo na segunda equação:
Isso significa que não há solução real para nessa forma. Então, essa tentativa não funcionou.

Passo 3

Poxa, não deu certo na Parte a). Mas sem desanimar, vamos para a Parte b)!
Parte b) Agora, vamos procurar uma solução que seja uma função de primeiro grau, ou seja, na forma , onde e são constantes que precisamos determinar.
Primeiro, calculamos as derivadas de :
Substituindo na EDO:
Simplificando:
Isso nos dá a relação entre e :
Portanto, qualquer função da forma é solução da EDO. Podemos escolher para simplificar, então uma solução é:

Passo 4

Agora que temos uma solução particular , vamos para a Parte c) onde encontramos a solução geral da EDO.
Parte c) Para encontrar a solução geral de uma EDO de segunda ordem, precisamos de duas soluções lineares e independentes. Já encontramos uma . Precisamos encontrar outra solução.
Uma técnica comum para encontrar a segunda solução quando já temos uma solução particular é usar o método da variação das constantes ou utilizar a solução da Parte a). No nosso caso, como a Parte a) não deu uma solução da forma , vamos tentar outra abordagem.
Outra possibilidade é tentar uma solução polinomial de grau dois, já que a primeira tentativa não funcionou. Vamos supor:
Calculando as derivadas:
Substituindo na EDO:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes devem ser zero:
á
Com , nossa solução . Mas isso é a mesma forma da solução . Ou seja, não conseguimos encontrar uma segunda solução linearmente independente dessa forma.
Então, precisamos tentar outro método. Vamos usar a solução por redução de ordem. Sabemos que é uma solução. Vamos procurar a segunda solução na forma:
Onde é o coeficiente de dividido pelo coeficiente de . Na nossa EDO:
Então,
Calculando :
Então,
Agora, a expressão para :
Essa integral pode ser complicada, mas com alguma manipulação, podemos resolver. No entanto, para simplificar, consideramos uma segunda solução de forma:
Verificando se essa solução funciona:
Calculando as derivadas:
Substituindo na EDO:
Portanto, é uma solução.

Passo 5

Agora que temos duas soluções diferentes e , podemos montar a solução geral da EDO.
Parte c)
A solução geral de uma EDO de segunda ordem é a combinação linear das soluções particulares:
Onde e são constantes que determinaremos com as condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos para a Parte d), que é resolver o Problema de Valor Inicial (PVI) com as condições e .
Parte d)
Temos a solução geral:
Primeiro, aplicamos a condição :
çã
Agora, calculamos a derivada de :
Aplicando a condição :
çã
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema.
Multiplicando a Equação 2 por 9 para eliminar os denominadores:
çã
Multiplicando a Equação 1 por 3:
çã
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Agora, substituindo na Equação 1’:

Resposta

A solução do Problema de Valor Inicial é:

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