Considere a
.
a) Encontre uma solução da EDO acima da forma
.
b) Encontre uma solução da EDO que seja uma função de primeiro grau.
c) Encontre a solução geral da EDO.
d) Encontre a solução do PVI
a) Encontre uma solução da EDO acima da forma
b) Encontre uma solução da EDO que seja uma função de primeiro grau.
c) Encontre a solução geral da EDO.
d) Encontre a solução do PVI
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem:
O que queremos fazer aqui é encontrar soluções para essa equação. Vamos precisar usar um pouco de cálculo diferencial e técnicas de solução de EDOs. Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Parte a) A gente vai procurar uma solução na forma
. Isso significa que vamos supor que a solução tem essa forma e descobrir qual valor de
faz essa igualdade funcionar.
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na EDO:
Podemos fatorar
:
Como
nunca é zero, podemos igualar o que está entre colchetes a zero:
Isso é uma equação que depende de
. Para que isso seja válido para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Vamos igualar os coeficientes:
Da primeira equação,
implica
.
Substituindo
na segunda equação:
Isso significa que não há solução real para
nessa forma. Então, essa tentativa não funcionou.
Passo 3
Poxa, não deu certo na Parte a). Mas sem desanimar, vamos para a Parte b)!
Parte b) Agora, vamos procurar uma solução que seja uma função de primeiro grau, ou seja, na forma
, onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Primeiro, calculamos as derivadas de
:
Substituindo na EDO:
Simplificando:
Isso nos dá a relação entre
e
:
Portanto, qualquer função da forma
é solução da EDO. Podemos escolher
para simplificar, então uma solução é:
Passo 4
Agora que temos uma solução particular
, vamos para a Parte c) onde encontramos a solução geral da EDO.
Parte c) Para encontrar a solução geral de uma EDO de segunda ordem, precisamos de duas soluções lineares e independentes. Já encontramos uma
. Precisamos encontrar outra solução.
Uma técnica comum para encontrar a segunda solução quando já temos uma solução particular é usar o método da variação das constantes ou utilizar a solução da Parte a). No nosso caso, como a Parte a) não deu uma solução da forma
, vamos tentar outra abordagem.
Outra possibilidade é tentar uma solução polinomial de grau dois, já que a primeira tentativa não funcionou. Vamos supor:
Calculando as derivadas:
Substituindo na EDO:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Para que isso seja válido para todo
, os coeficientes devem ser zero:
Com
, nossa solução
. Mas isso é a mesma forma da solução
. Ou seja, não conseguimos encontrar uma segunda solução linearmente independente dessa forma.
Então, precisamos tentar outro método. Vamos usar a solução por redução de ordem. Sabemos que
é uma solução. Vamos procurar a segunda solução na forma:
Onde
é o coeficiente de
dividido pelo coeficiente de
. Na nossa EDO:
Então,
Calculando
:
Então,
Agora, a expressão para
:
Essa integral pode ser complicada, mas com alguma manipulação, podemos resolver. No entanto, para simplificar, consideramos uma segunda solução de forma:
Verificando se essa solução funciona:
Calculando as derivadas:
Substituindo na EDO:
Portanto,
é uma solução.
Passo 5
Agora que temos duas soluções diferentes
e
, podemos montar a solução geral da EDO.
Parte c)
A solução geral de uma EDO de segunda ordem é a combinação linear das soluções particulares:
Onde
e
são constantes que determinaremos com as condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos para a Parte d), que é resolver o Problema de Valor Inicial (PVI) com as condições
e
.
Parte d)
Temos a solução geral:
Primeiro, aplicamos a condição
:
Agora, calculamos a derivada de
:
Aplicando a condição
:
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema.
Multiplicando a Equação 2 por 9 para eliminar os denominadores:
Multiplicando a Equação 1 por 3:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Agora, substituindo
na Equação 1’:
Resposta
A solução do Problema de Valor Inicial é:
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q)
q)
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