Calcule a área do polígono regular de 24 lados inscrito num circulo de raio 1.?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um polígono regular de 24 lados que está inscrito em um círculo com raio 1. Isso envolve conhecimentos de geometria, especificamente sobre polígonos regulares e círculos. Para resolver, vamos usar fórmulas que relacionam o número de lados do polígono, o raio do círculo e a área do polígono.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um polígono regular inscrito em um círculo. Um polígono regular tem todos os lados e ângulos iguais, e “inscrito” significa que todos os seus vértices estão sobre o círculo. Neste caso, temos 24 lados e o raio do círculo é 1.
Passo 3
Para calcular a área desse polígono, podemos dividir o polígono em 24 triângulos isósceles iguais, cada um com dois lados iguais ao raio do círculo (que é 1) e um ângulo no centro correspondente a cada setor. O ângulo central de cada triângulo é dado por:
Onde $ n $ é o número de lados do polígono. Aqui, $ n = 24 $, então:
Passo 4
Agora, para encontrar a área de um desses triângulos, podemos usar a fórmula da área de um triângulo com dois lados iguais e o ângulo entre eles:
Aqui, $ a $ e $ b $ são os lados iguais (ambos iguais a 1), e $ \theta = 15^\circ $. Então:
Passo 5
Sabemos que $ \sin(15^\circ) $ pode ser calculado usando a fórmula de seno para a diferença de ângulos:
Usando os valores conhecidos:
Substituindo:
Passo 6
Voltando à área do triângulo:
Passo 7
Como temos 24 desses triângulos no polígono, a área total do polígono será:
Resposta
A área do polígono regular de 24 lados inscrito em um círculo de raio 1 é: