Determine os focos e a excentricidade da elipse 9x2 + 5y2 - 45 = 0.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses. O enunciado nos pede para encontrar os focos e a excentricidade da elipse dada pela equação
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as equações das elipses e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da elipse em sua forma padrão. A forma padrão de uma elipse é
, onde
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 3
Nossa equação inicial é
. Vamos primeiro mover o 45 para o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos dividir todos os termos por 45 para que o lado direito da equação seja 1:
Simplificando as frações:
Passo 5
Comparando com a forma padrão
, vemos que:
-
e (o centro é na origem) -
e
Como
, o semi-eixo maior é o eixo y. Então,
e
.
Passo 6
Agora, para encontrar os focos, usamos a fórmula
, onde
é a distância do centro até cada foco.
Vamos calcular
:
Passo 7
Como o eixo maior é o eixo y, os focos estarão nessa direção. Portanto, as coordenadas dos focos são:
Passo 8
A excentricidade
da elipse é dada por
.
Vamos calcular:
Resposta
Os focos da elipse são
e
e a excentricidade da elipse é
.