Determine os focos e a excentricidade da elipse 9x2 + 5y2 - 45 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses. O enunciado nos pede para encontrar os focos e a excentricidade da elipse dada pela equação 9x^2 + 5y^2 - 45 = 0. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as equações das elipses e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse em sua forma padrão. A forma padrão de uma elipse é (x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1, onde (h, k) é o centro da elipse, a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor.

Passo 3

Nossa equação inicial é 9x^2 + 5y^2 - 45 = 0. Vamos primeiro mover o 45 para o lado direito:
9x^2 + 5y^2 = 45

Passo 4

Agora, vamos dividir todos os termos por 45 para que o lado direito da equação seja 1:
9x^245 + 5y^245 = 1
Simplificando as frações:
x^25 + y^29 = 1

Passo 5

Comparando com a forma padrão (x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1, vemos que:
  • h = 0 e k = 0 (o centro é na origem)
  • a^2 = 5 e b^2 = 9
Como b^2 > a^2, o semi-eixo maior é o eixo y. Então, a = raiz5 e b = 3.

Passo 6

Agora, para encontrar os focos, usamos a fórmula c = raizb^2 - a^2, onde c é a distância do centro até cada foco.
Vamos calcular c:
c = raiz9 - 5 = raiz4 = 2

Passo 7

Como o eixo maior é o eixo y, os focos estarão nessa direção. Portanto, as coordenadas dos focos são:
(0, c) = (0, 2)
(0, -c) = (0, -2)

Passo 8

A excentricidade e da elipse é dada por e = cb.
Vamos calcular:
e = 23 approx 0,6667

Resposta

Os focos da elipse são (0, 2) e (0, -2) e a excentricidade da elipse é e = 23.

Exercícios relacionados