Use a regra da cadeia para calcular dz/dt quando z=3x²+7xy+y², onde x=2t e y=t²

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função $ z $ que depende de $ x $ e $ y $, e ambas $ x $ e $ y $ dependem de $ t $. Vamos usar a regra da cadeia para encontrar a derivada de $ z $ em relação a $ t $. Para isso, precisamos saber as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, além das derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e a $ y $.
Dado:
z
As derivadas parciais são:
x
y

Passo 3

Em seguida, calculamos as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.
Dado que:
x
y
As derivadas são:
t
x = 2t

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar $ \frac{dz}{dt} $:
dzdt

Passo 5

Substituímos as derivadas que calculamos:
dzdt = (6x + 7y) cdot 2 + (7x + 2y) cdot 2t

Passo 6

Agora, substituímos $ x = 2t $ e $ y = t^2 $ na expressão:
x = 2t

Passo 7

Simplificamos as expressões:
dzdt = (12t + 7t^2) cdot 2 + (14t + 2t^2) cdot 2t
dzdt = 24t + 14t^2 + 28t^2 + 4t^3

Passo 8

Somamos os termos semelhantes:
dzdt = 24t + 42t^2 + 4t^3

Resposta

A derivada de $ z $ em relação a $ t $ é:
z

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