Use a regra da cadeia para calcular dz/dt quando z=3x²+7xy+y², onde x=2t e y=t²
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função $ z $ que depende de $ x $ e $ y $, e ambas $ x $ e $ y $ dependem de $ t $. Vamos usar a regra da cadeia para encontrar a derivada de $ z $ em relação a $ t $. Para isso, precisamos saber as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, além das derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e a $ y $.
Dado:
As derivadas parciais são:
Passo 3
Em seguida, calculamos as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.
Dado que:
As derivadas são:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar $ \frac{dz}{dt} $:
Passo 5
Substituímos as derivadas que calculamos:
Passo 6
Agora, substituímos $ x = 2t $ e $ y = t^2 $ na expressão:
Passo 7
Simplificamos as expressões:
Passo 8
Somamos os termos semelhantes:
Resposta
A derivada de $ z $ em relação a $ t $ é: