Resolva o sistema lx cdot(2,3,4)=9 x wed>=(-1,1,-1)=(-2,0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema que envolve produto escalar e produto vetorial. A gente vai precisar entender como funcionam essas operações vetoriais para encontrar o vetor x que satisfaz as duas equações. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o vetor x de (x, y, z). Isso nos ajuda a trabalhar com as componentes individuais.

Passo 3

Vamos analisar a primeira equação: x cdot (2,3,4) = 9. O produto escalar (ou dot product) entre dois vetores (a,b,c) e (d,e,f) é calculado assim:
a cdot b = a cdot d + b cdot e + c cdot f
Aplicando isso, temos:
x cdot 2 + y cdot 3 + z cdot 4 = 9
Simplificando:
2x + 3y + 4z = 9 (Equação 1) çã

Passo 4

Agora, vamos para a segunda equação: x wed>= (-1,1,-1) = (-2,0,2). O produto vetorial (ou cross product) entre dois vetores (a,b,c) e (d,e,f) é dado por:
a wed>= b = (b f - c e, c d - a f, a e - b d)
Aplicando isso:
x wed>= (-1,1,-1) = (y cdot (-1) - z cdot 1, z cdot (-1) - x cdot (-1), x cdot 1 - y cdot (-1)) = (-2,0,2)
Simplificando cada componente:
  1. -y - z = -2 y + z = 2 \quad (Equação 2)
  2. -z + x = 0 x = z \quad (Equação 3)
  3. x + y = 2 \quad (Equação 4)

Passo 5

Agora temos um sistema de quatro equações, mas algumas são redundantes. Vamos resolver passo a passo:
Da Equação 3, sabemos que x = z.
Da Equação 4, x + y = 2. Mas já que x = z, podemos escrever z + y = 2.
Isso é a mesma coisa que a Equação 2, então não adiciona nova informação. Vamos usar a Equação 1 com x = z:
Substituindo x = z na Equação 1:
2z + 3y + 4z = 9 6z + 3y = 9 2z + y = 3 (Equação 5) çã

Passo 6

Agora, temos duas equações:
  1. y + z = 2 \quad (Equação 2)
  2. 2z + y = 3 \quad (Equação 5)
Vamos subtrair a Equação 2 da Equação 5:
(2z + y) - (y + z) = 3 - 2 2z + y - y - z = 1 z = 1

Passo 7

Com z = 1, usamos a Equação 2 para encontrar y:
y + 1 = 2 y = 1

Passo 8

E como x = z, temos:
x = 1

Resposta

O vetor solução é x = (1, 1, 1).

Exercícios relacionados

Uma matriz quadrada A diz-se idempotente se A^2=A.
(b) Se A é idempotente, mostre que B=I-A é idempotente e que A B=B A=0.
Use a Regra de Cramer para resolver os sistemas:
(b) lx1+x2+x3=0 -x2+2 x3=0 2 x1+2 x2=1 Resp.: x1=3 / 2, x2=-1 e x3=-1 / 2
Calcule a área do quadrilátero cujos vértices são (1,1),(0,5),(-1,-3),(7,0).
Encontre os coordenadas dos pontos que dividem o segmento que une os pontos A=(2,7,1) e B= (8,-2,5) em três partes iguais.