Resolva o sistema
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema que envolve produto escalar e produto vetorial. A gente vai precisar entender como funcionam essas operações vetoriais para encontrar o vetor
que satisfaz as duas equações. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o vetor
de
. Isso nos ajuda a trabalhar com as componentes individuais.
Passo 3
Vamos analisar a primeira equação:
. O produto escalar (ou dot product) entre dois vetores
e
é calculado assim:
Aplicando isso, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda equação:
. O produto vetorial (ou cross product) entre dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso:
Simplificando cada componente:
-
→ \quad (Equação 2) -
→ \quad (Equação 3) -
\quad (Equação 4)
Passo 5
Agora temos um sistema de quatro equações, mas algumas são redundantes. Vamos resolver passo a passo:
Da Equação 3, sabemos que
.
Da Equação 4,
. Mas já que
, podemos escrever
.
Isso é a mesma coisa que a Equação 2, então não adiciona nova informação. Vamos usar a Equação 1 com
:
Substituindo
na Equação 1:
Passo 6
Agora, temos duas equações:
-
\quad (Equação 2) -
\quad (Equação 5)
Vamos subtrair a Equação 2 da Equação 5:
Passo 7
Com
, usamos a Equação 2 para encontrar
:
Passo 8
E como
, temos:
Resposta
O vetor solução é
.