Uma matriz quadrada
diz-se idempotente se
.
(b) Se
é idempotente, mostre que
é idempotente e que
.
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz quadrada
que é idempotente, ou seja, satisfaz
. O que a questão pede é para mostrar que a matriz
também é idempotente e que
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, especialmente propriedades de matrizes idempotentes e a identidade
.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que
é idempotente. Ser idempotente significa que
. Vamos calcular
:
Passo 3
Agora, vamos expandir a multiplicação:
Sabemos que
é a matriz identidade, então
e
. Também, como
é idempotente,
. Substituindo essas igualdades:
Então,
, o que mostra que
é idempotente.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que
e
. Primeiro, calculemos
:
Sabendo que
e
(pois
é idempotente):
Passo 5
De maneira semelhante, calculamos
:
Usando
e
:
Resposta
Assim, mostramos que
é idempotente e que
.