Uma matriz quadrada diz-se idempotente se .
(b) Se é idempotente, mostre que é idempotente e que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz quadrada que é idempotente, ou seja, satisfaz . O que a questão pede é para mostrar que a matriz também é idempotente e que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, especialmente propriedades de matrizes idempotentes e a identidade .
Passo 2
Primeiro, vamos provar que é idempotente. Ser idempotente significa que . Vamos calcular :
Passo 3
Agora, vamos expandir a multiplicação:
Sabemos que é a matriz identidade, então e . Também, como é idempotente, . Substituindo essas igualdades:
Então, , o que mostra que é idempotente.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que e . Primeiro, calculemos :