Uma matriz quadrada A diz-se idempotente se A^2=A.
(b) Se A é idempotente, mostre que B=I-A é idempotente e que A B=B A=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz quadrada que é idempotente, ou seja, satisfaz . O que a questão pede é para mostrar que a matriz também é idempotente e que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, especialmente propriedades de matrizes idempotentes e a identidade .

Passo 2

Primeiro, vamos provar que B^2 = (I - A)(I - A) é idempotente. Ser idempotente significa que . Vamos calcular :

Passo 3

Agora, vamos expandir a multiplicação:
B^2 = I cdot I - I cdot A - A cdot I + A cdot A
Sabemos que B^2 = I - A - A + A = I - A = B é a matriz identidade, então e . Também, como é idempotente, . Substituindo essas igualdades:
Então, , o que mostra que é idempotente.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que A times B = A times (I - A) = A cdot I - A cdot A e A times B = A - A = 0 . Primeiro, calculemos :
Sabendo que e (pois é idempotente):

Passo 5

De maneira semelhante, calculamos B times A = (I - A) times A = I cdot A - A cdot A :
B times A = A - A = 0
Usando e :

Resposta

Assim, mostramos que é idempotente e que .

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