Calcule a área da região compreendida entre os gráficos das funções
com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que fica entre os gráficos das funções
e
no intervalo de
entre -1 e 1. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente ao cálculo de áreas entre curvas usando integrais definidas. Para isso, vamos precisar identificar onde as curvas se encontram e então integrar a diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas funções no intervalo dado. Isso ajuda a entender onde uma função está acima da outra. Para isso, igualamos
a
:
Passo 3
Resolvendo a equação para encontrar os valores de
:
Então, os pontos de interseção são em
e
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar qual função está acima da outra no intervalo de
entre -1 e 1. Vamos escolher um valor de
dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Então, em
,
está acima de
.
Passo 5
Sabendo que
está acima de
no intervalo de -1 a 1, podemos calcular a área entre as curvas usando a integral da diferença das funções:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar para áreas definidas.
Passo 8
Aplicando os limites de integração de -1 a 1:
Resposta
A área da região compreendida entre as curvas é
unidades quadradas.
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