Calcule a área da região compreendida entre os gráficos das funções com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que fica entre os gráficos das funções e no intervalo de entre -1 e 1. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente ao cálculo de áreas entre curvas usando integrais definidas. Para isso, vamos precisar identificar onde as curvas se encontram e então integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas funções no intervalo dado. Isso ajuda a entender onde uma função está acima da outra. Para isso, igualamos a :

Passo 3

Resolvendo a equação para encontrar os valores de :
Então, os pontos de interseção são em e .

Passo 4

Agora, precisamos determinar qual função está acima da outra no intervalo de entre -1 e 1. Vamos escolher um valor de dentro desse intervalo, por exemplo, :
Então, em , está acima de .

Passo 5

Sabendo que está acima de no intervalo de -1 a 1, podemos calcular a área entre as curvas usando a integral da diferença das funções:
Á

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Á

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para áreas definidas.

Passo 8

Aplicando os limites de integração de -1 a 1:
Á

Resposta

A área da região compreendida entre as curvas é unidades quadradas.

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