Calcule integral duplaB raizx^2+y^2 d x d y, onde B é o triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é o triângulo com vértices em , e . Isso envolve conhecer integrais duplas e como definir os limites de integração para a região triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o triângulo para entender melhor os limites de integração. Os vértices são , e . Esse triângulo está no primeiro quadrante, e a linha que liga a é vertical, enquanto a linha que liga a tem inclinação 1.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Podemos escrever a integral dupla primeiro integrando em e depois em . Para cada entre 0 e 1, vai de 0 até a linha que liga a , que é .

Passo 4

Então, nossa integral fica:
integralx=0^1 integraly=0^x raizx^2 + y^2 , dy , dx
Agora, precisamos resolver a integral interna em relação a .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna . Para isso, fazemos uma substituição trigonométrica. Se deixarmos , então , e .

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
integral raizx^2 + y^2 , dy = integral x sec theta cdot x sec^2 theta , dtheta = x^2 integral sec^3 theta , dtheta
A integral de é conhecida e vale .

Passo 7

Voltando para a variável 12 x^2 [ yx raiz1 + (yx)^2 + ln ( yx + raiz1 + (yx)^2 ) ] g|0^x , substituímos 12 x^2 ( xx raiz1 + 1 + ln(1 + raiz2) ) - 0 = 12 x^2 (raiz2 + ln(1 + raiz2)) e simplificamos:
Avaliando nos limites e , obtemos:

Passo 8

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
integral0^1 12 x^2 (raiz2 + ln(1 + raiz2)) , dx = 12 (raiz2 + ln(1 + raiz2)) integral0^1 x^2 , dx
A integral de de 0 a 1 é .

Passo 9

Finalmente, multiplicamos tudo:
12 (raiz2 + ln(1 + raiz2)) cdot 13 = 16 (raiz2 + ln(1 + raiz2))

Resposta

A integral dupla vale .

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