Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é o triângulo com vértices em , e . Isso envolve conhecer integrais duplas e como definir os limites de integração para a região triangular.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o triângulo para entender melhor os limites de integração. Os vértices são , e . Esse triângulo está no primeiro quadrante, e a linha que liga a é vertical, enquanto a linha que liga a tem inclinação 1.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Podemos escrever a integral dupla primeiro integrando em e depois em . Para cada entre 0 e 1, vai de 0 até a linha que liga a , que é .
Passo 4
Então, nossa integral fica:
Agora, precisamos resolver a integral interna em relação a .
Passo 5
Vamos resolver a integral interna . Para isso, fazemos uma substituição trigonométrica. Se deixarmos , então , e .
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
A integral de é conhecida e vale .
Passo 7
Voltando para a variável , substituímos e simplificamos:
Avaliando nos limites e , obtemos:
Passo 8
Agora, substituímos essa expressão na integral externa: