Calcule
, onde
é o conjuntos de todos os pontos
tais que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a integral dupla de
sobre a região
. Esse conjunto
é formado por todos os pontos
que satisfazem as condições
e
. Vamos precisar usar integrais duplas e mudar para coordenadas polares pra facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. A primeira inequação,
, representa uma parábola que abre para baixo. A segunda inequação,
, podemos reescrever como
, o que é equivalente a
. Isso descreve um círculo com centro em
e raio
.
Passo 3
Agora que sabemos que a região
é a parte do círculo
que está acima da parábola
, vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração. Nas coordenadas polares, temos:
E o elemento de área
vira
.
Passo 4
Vamos identificar os limites de integração em coordenadas polares. O círculo
em coordenadas polares fica:
Expandindo e simplificando:
Então,
varia de
a
. Para
, observamos que o círculo está à direita do eixo y, então
vai de
a
.
Passo 5
Agora, montamos a integral em coordenadas polares:
Calculando a integral interna:
Então, a integral fica:
Sabemos que
, então avaliando entre
e
:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Calcule a área da região compreendida entre os gráficos das funções
com
.
Calcule
, onde
é o triângulo de vértices
e
.
Calcule
, onde
é o triângulo de vértices
e
.
Determine o volume do sólido
que é limitado pelo paraboloide elíptico
16, pelos planos
e pelos três planos coordenados.