Calcule , onde é o conjuntos de todos os pontos tais que e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a integral dupla de sobre a região . Esse conjunto é formado por todos os pontos que satisfazem as condições e . Vamos precisar usar integrais duplas e mudar para coordenadas polares pra facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . A primeira inequação, , representa uma parábola que abre para baixo. A segunda inequação, , podemos reescrever como , o que é equivalente a . Isso descreve um círculo com centro em e raio .

Passo 3

Agora que sabemos que a região é a parte do círculo que está acima da parábola , vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração. Nas coordenadas polares, temos:
E o elemento de área vira .

Passo 4

Vamos identificar os limites de integração em coordenadas polares. O círculo em coordenadas polares fica:
Expandindo e simplificando:
Então, varia de a . Para , observamos que o círculo está à direita do eixo y, então vai de a .

Passo 5

Agora, montamos a integral em coordenadas polares:
Calculando a integral interna:
Então, a integral fica:
Sabemos que , então avaliando entre e :

Resposta

A integral dupla vale .

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