Calcule integral duplaB raizx^2+y^2 d x d y, onde B é o conjuntos de todos os pontos (x, y) tais que y >= x-x^2 e x^2+y^2-x <= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a integral dupla de sobre a região . Esse conjunto é formado por todos os pontos que satisfazem as condições e . Vamos precisar usar integrais duplas e mudar para coordenadas polares pra facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . A primeira inequação, , representa uma parábola que abre para baixo. A segunda inequação, , podemos reescrever como , o que é equivalente a . Isso descreve um círculo com centro em e raio .

Passo 3

Agora que sabemos que a região x = r costheta e y = r sintheta é a parte do círculo que está acima da parábola , vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração. Nas coordenadas polares, temos:
E o elemento de área vira .

Passo 4

Vamos identificar os limites de integração em coordenadas polares. O círculo (r costheta - 12)^2 + (r sintheta)^2 = 14 em coordenadas polares fica:
r^2 - r costheta = 0 Rightarrow r = costheta
Expandindo e simplificando:
Então, varia de a . Para , observamos que o círculo está à direita do eixo y, então vai de a .

Passo 5

Agora, montamos a integral em coordenadas polares:
integral duplaB raizx^2+y^2 , dx , dy = integral-pi2^pi2 integral0^costheta r cdot r , dr , dtheta = integral-pi2^pi2 integral0^costheta r^2 , dr , dtheta
Calculando a integral interna:
integral0^costheta r^2 , dr = [r^33]0^costheta = (costheta)^33
Então, a integral fica:
13 integral-pi2^pi2 (costheta)^3 , dtheta
Sabemos que 13 [ sintheta (2 + cos^2theta)3 ]-pi2^pi2 = 19 [ sin(pi2)(2 + 0) - sin(-pi2)(2 + 0) ] = 19 (2 - (-2)) = 49 , então avaliando entre e :

Resposta

A integral dupla vale .

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