Calcule a área da região compreendidada entre os gráficos f(x) = x^3 - 2x + 1 e g(x) = -x + 1 com -1 <= x <= 1. Resposta: 1/2
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Determine m > 0 para que a área delimitada por y = x^2, y = x^2 / 2 e a reta y = m x seja igual 4. Resposta: m = 2

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar um valor positivo de tal que a área delimitada pelas curvas , e pela reta seja igual a 4. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde essas curvas se interceptam. Saber os pontos de intersecção é essencial porque eles vão determinar os limites de onde vamos calcular a área. Vamos resolver as equações para encontrar esses pontos.

Passo 3

Vamos encontrar onde intercepta :
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
As soluções são e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde intercepta :
Multiplicando ambos os lados por 2 para facilitar:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
As soluções são e .

Passo 5

Agora que temos os pontos de intersecção, podemos visualizar que a área delimitada está entre e . Vamos dividir essa área em duas partes para facilitar o cálculo:
  1. Primeira parte: Entre e , onde a curva de cima é e a de baixo é .
  2. Segunda parte: Entre e , onde a curva de cima é e a de baixo é .

Passo 6

Vamos calcular a área da primeira parte usando integrais. A fórmula para a área entre duas curvas é:
Onde é a curva de cima e é a curva de baixo.
Para a primeira parte:

Passo 7

Vamos integrar :
Substituindo os limites:
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:

Passo 8

Agora, vamos calcular a área da segunda parte:

Passo 9

Integrando :
Substituindo os limites:
Simplificando:
Mais novamente, considerando o valor absoluto:

Passo 10

A área total é a soma das duas áreas calculadas:

Passo 11

Agora, igualamos a área total a 4 para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Tirando a raiz cúbica:

Resposta

O valor de que torna a área igual a 4 é .

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