Calcule a área da região compreendidada entre os gráficos
e
com
. Resposta:
13
Determine
para que a área delimitada por
e a reta
seja igual 4. Resposta:
13
Determine
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar um valor positivo de
tal que a área delimitada pelas curvas
,
e pela reta
seja igual a 4. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde essas curvas se interceptam. Saber os pontos de intersecção é essencial porque eles vão determinar os limites de onde vamos calcular a área. Vamos resolver as equações para encontrar esses pontos.
Passo 3
Vamos encontrar onde
intercepta
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
As soluções são
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde
intercepta
:
Multiplicando ambos os lados por 2 para facilitar:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
As soluções são
e
.
Passo 5
Agora que temos os pontos de intersecção, podemos visualizar que a área delimitada está entre
e
. Vamos dividir essa área em duas partes para facilitar o cálculo:
- Primeira parte: Entre
e , onde a curva de cima é e a de baixo é . - Segunda parte: Entre
e , onde a curva de cima é e a de baixo é .
Passo 6
Vamos calcular a área da primeira parte usando integrais. A fórmula para a área entre duas curvas é:
Onde
é a curva de cima e
é a curva de baixo.
Para a primeira parte:
Passo 7
Vamos integrar
:
Substituindo os limites:
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Passo 8
Agora, vamos calcular a área da segunda parte:
Passo 9
Integrando
:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Mais novamente, considerando o valor absoluto:
Passo 10
A área total é a soma das duas áreas calculadas:
Passo 11
Agora, igualamos a área total a 4 para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Tirando a raiz cúbica:
Resposta
O valor de
que torna a área igual a 4 é
.