Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado:
(1) integral sen^-1(x) d x (Resposta: x sen^-1(x)+raiz1-x^2+C )

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de sen^-1(x) em relação a x. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando técnicas de integração como a integração por partes. Para resolver, vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos usar na fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, escolhemos u = sen^-1(x) e dv = dx.

Passo 3

Agora, vamos derivar u e integrar dv:
du = 1raiz1 - x^2 , dx e v = integral dx = x

Passo 4

Substituímos esses valores na fórmula da integração por partes:
integral sen^-1(x) , dx = x cdot sen^-1(x) - integral x cdot 1raiz1 - x^2 , dx

Passo 5

Agora precisamos resolver a integral restante:
integral xraiz1 - x^2 , dx
Vamos fazer uma substituição simples. Seja w = 1 - x^2, então dw = -2x , dx, ou seja, x , dx = -12 dw.

Passo 6

Substituindo na integral:
integral xraiz1 - x^2 , dx = -12 integral 1raizw , dw = -12 cdot 2 raizw + C = -raiz1 - x^2 + C

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
integral sen^-1(x) , dx = x cdot sen^-1(x) - (-raiz1 - x^2) + C = x cdot sen^-1(x) + raiz1 - x^2 + C

Resposta

integral sen^-1(x) , dx = x sen^-1(x) + raiz1 - x^2 + C

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