Calcule a área da região delimitada pelas curvas
e
. (Resposta:
10
Calcule a área da região delimitada pelas curvas
e
, e pelas retas
e
Resposta:
10
Calcule a área da região delimitada pelas curvas
Passo 1
Vamos calcular a área da região delimitada pelas curvas
e
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas curvas e depois integrar a diferença entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Igualamos as equações:
Passo 3
Resolvendo a equação:
Então,
ou
.
Passo 4
Agora, identificamos os limites de integração como
e
.
Passo 5
Determina qual curva está acima da outra no intervalo. Para
entre
e
,
está acima de
.
Passo 6
A fórmula para a área entre duas curvas é:
onde
é a curva superior e
a curva inferior.
Passo 7
Aplicando os valores:
Passo 8
Calculando a integral:
Passo 9
Avaliar a integral nos limites:
Passo 10
Vamos calcular a área da região delimitada pelas curvas
,
e pelas retas
e
. Aqui, utilizamos cálculo de áreas entre curvas com limites de integração definidos. Precisamos encontrar os pontos de interseção e integrar a diferença entre as funções dentro dos limites dados.
Passo 11
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas
e
se cruzam. Igualamos as equações:
Passo 12
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
No entanto, resolver esta equação pode ser complexo. Observando os limites
e
, podemos verificar os valores das funções nesses pontos para determinar qual está acima da outra.
Passo 13
Calculando nos pontos:
-
Para
: -
Para
: -
Entre
e , testamos :
Observamos que
está acima de
nesse intervalo.
Passo 14
A fórmula para a área é:
Passo 15
Vamos integrar cada parte separadamente:
Passo 16
Calculando
:
Fazendo
, então
:
Calculando
:
Expandindo:
Passo 17
Subtraindo as integrais:
Passo 18
Avaliando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região delimitada é
.