Calcule a área da região delimitada pelas curvas y = 2 x^2 e y = -x^2 - 2x. (Resposta: 4/27
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Calcule a área da região delimitada pelas curvas y = raiz(x + 1) e y = (x - 1)^(2), e pelas retas x = 2 e x = 0 Resposta: 2 * raiz(3) - 4/3

Passo 1

Vamos calcular a área da região delimitada pelas curvas e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas curvas e depois integrar a diferença entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Igualamos as equações:

Passo 3

Resolvendo a equação:
Então, ou .

Passo 4

Agora, identificamos os limites de integração como e .

Passo 5

Determina qual curva está acima da outra no intervalo. Para entre e , está acima de .

Passo 6

A fórmula para a área entre duas curvas é:
Á
onde é a curva superior e a curva inferior.

Passo 7

Aplicando os valores:
Á

Passo 8

Calculando a integral:

Passo 9

Avaliar a integral nos limites:

Passo 10

Vamos calcular a área da região delimitada pelas curvas , e pelas retas e . Aqui, utilizamos cálculo de áreas entre curvas com limites de integração definidos. Precisamos encontrar os pontos de interseção e integrar a diferença entre as funções dentro dos limites dados.

Passo 11

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas e se cruzam. Igualamos as equações:

Passo 12

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
No entanto, resolver esta equação pode ser complexo. Observando os limites e , podemos verificar os valores das funções nesses pontos para determinar qual está acima da outra.

Passo 13

Calculando nos pontos:
  • Para :
  • Para :
  • Entre e , testamos :
Observamos que está acima de nesse intervalo.

Passo 14

A fórmula para a área é:
Á

Passo 15

Vamos integrar cada parte separadamente:

Passo 16

Calculando :
Fazendo , então :
Calculando :
Expandindo:

Passo 17

Subtraindo as integrais:
Á

Passo 18

Avaliando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A área da região delimitada é .

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