Resolva as integrais abaixo:
(h) integral0^4 raiz16-x^2 d x (Resposta: 4 pi )

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral0^4 raiz16 - x^2 , dx. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções que representam áreas de figuras geométricas. Para isso, precisamos entender como a função dentro da integral se relaciona com uma forma geométrica.

Passo 2

A expressão raiz16 - x^2 é derivada da equação de um círculo. Sabemos que a equação geral de um círculo com raio r e centro na origem é x^2 + y^2 = r^2. Aqui, r = 4, então a equação fica x^2 + y^2 = 16. Ao resolver para y, temos y = raiz16 - x^2, que representa a parte superior do círculo.

Passo 3

A integral integral0^4 raiz16 - x^2 , dx calcula a área sob a curva da função y = raiz16 - x^2 no intervalo de x = 0 a x = 4. Geometricamente, isso corresponde a um quarto de círculo, já que estamos considerando apenas a parte do círculo no primeiro quadrante.

Passo 4

Sabemos que a área total de um círculo é dada por A = pi r^2. Com r = 4, a área completa do círculo é A = pi times 4^2 = 16pi.

Passo 5

Como a integral representa apenas um quarto do círculo completo, a área correspondente é 14 times 16pi = 4pi.

Resposta

4 pi

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