Calcule a área da região comum às curvas e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a área que é comum às curvas polares e . Isso envolve conhecimentos de geometria polar e cálculo de integrais para áreas. Vamos precisar encontrar onde essas curvas se intersectam e depois integrar a diferença entre elas para achar a área compartilhada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas expressões de :
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de onde as curvas se encontram.

Passo 3

Rearranjando a equação:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
Agora, vamos usar a identidade trigonométrica para combinar os termos de seno e cosseno.

Passo 4

Usamos a fórmula , onde e .
Aqui, e , então:
Reescrevendo a equação:

Passo 5

Agora, encontramos os valores de :
Calculando isso, obtemos os pontos de interseção. Vamos considerar os valores de no intervalo .

Passo 6

Após encontrar os pontos de interseção, identificamos os limites de integração. Observamos qual curva está por cima ou por baixo no intervalo determinado.

Passo 7

A área comum é dada pela integral:

Passo 8

Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Substituindo na integral:

Passo 9

Simplificamos ainda mais:
Podemos usar identidades trigonométricas para simplificar e :

Passo 10

Substituindo as identidades:
Simplificando:

Passo 11

Agora, integramos termo a termo:

Passo 12

Avaliaremos essa expressão nos limites de integração e encontrados anteriormente e calcularemos a diferença para obter a área.

Resposta

Após realizar os cálculos, a área da região comum às curvas e é aproximadamente .

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(i) usando a Definição 1.
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© Faça um gráfico da curva e da reta tangente em janelas retangulares cada vez menores centrados no ponto até que a curva e a tangente pareçam indistinguíveis.
Calcule a área da região entre as curvas e .
Encontre a área entre as curvas e para .