Calcule a área da região comum às curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a área que é comum às curvas polares
e
. Isso envolve conhecimentos de geometria polar e cálculo de integrais para áreas. Vamos precisar encontrar onde essas curvas se intersectam e depois integrar a diferença entre elas para achar a área compartilhada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas expressões de
:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
onde as curvas se encontram.
Passo 3
Rearranjando a equação:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
Agora, vamos usar a identidade trigonométrica para combinar os termos de seno e cosseno.
Passo 4
Usamos a fórmula
, onde
e
.
Aqui,
e
, então:
Reescrevendo a equação:
Passo 5
Agora, encontramos os valores de
:
Calculando isso, obtemos os pontos de interseção. Vamos considerar os valores de
no intervalo
.
Passo 6
Após encontrar os pontos de interseção, identificamos os limites de integração. Observamos qual curva está por cima ou por baixo no intervalo determinado.
Passo 7
A área comum é dada pela integral:
Passo 8
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Substituindo na integral:
Passo 9
Simplificamos ainda mais:
Podemos usar identidades trigonométricas para simplificar
e
:
Passo 10
Substituindo as identidades:
Simplificando:
Passo 11
Agora, integramos termo a termo:
Passo 12
Avaliaremos essa expressão nos limites de integração
e
encontrados anteriormente e calcularemos a diferença para obter a área.
Resposta
Após realizar os cálculos, a área da região comum às curvas
e
é aproximadamente
.