(a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva
no ponto
(i) usando a Definição 1.
(ii) usando a Equação 2.
(b) Encontre a equação da reta tangente da parte (a).
© Faça um gráfico da curva e da reta tangente em janelas retangulares cada vez menores centrados no ponto
até que a curva e a tangente pareçam indistinguíveis.
(i) usando a Definição 1.
(ii) usando a Equação 2.
(b) Encontre a equação da reta tangente da parte (a).
© Faça um gráfico da curva e da reta tangente em janelas retangulares cada vez menores centrados no ponto
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de cálculo juntos. O enunciado pede para encontrarmos a inclinação da reta tangente à curva
no ponto
. Para isso, vamos usar dois métodos diferentes: a definição de derivada e uma fórmula específica da derivada. Depois, vamos achar a equação dessa reta tangente e até fazer um gráfico para visualizar tudo direitinho. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos usar a Definição 1 da derivada, que é a definição de limite. Basicamente, a derivada de uma função
no ponto
é dada por:
Aqui, nossa função é
e queremos encontrar a derivada no ponto
. Vamos substituir esses valores na definição:
Vamos simplificar o numerador:
Agora, substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 3
Agora, vamos usar a Equação 2, que é a regra de derivação para polinômios. A regra diz que a derivada de
é
.
Nossa função é
. Vamos derivar termo por termo:
Agora, substituímos
para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto:
Passo 4
Agora que temos a inclinação da reta tangente, vamos encontrar a equação da reta tangente. A fórmula da equação da reta tangente em um ponto
é:
Sabemos que
,
e
. Substituindo esses valores:
Passo 5
Por fim, vamos fazer um gráfico da curva e da reta tangente perto do ponto
. Para isso, podemos usar ferramentas gráficas como o GeoGebra ou até mesmo desenhar à mão. O importante é ajustar a janela de visualização para que fique bem centrada em
e mostrar que, bem próximo a esse ponto, a reta tangente
e a curva
se parecem praticamente a mesma linha.
Resposta
A inclinação da reta tangente à curva
no ponto
é
. A equação dessa reta tangente é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral em coordenadas polares para a área da região dentro da curva
.
Determine o comprimento da curva
para
.
Trace o gráfico da equação polar
e encontre a área interna.
Calcule a área da região comum às curvas
e
.