(a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva no ponto
(i) usando a Definição 1.
(ii) usando a Equação 2.
(b) Encontre a equação da reta tangente da parte (a).
© Faça um gráfico da curva e da reta tangente em janelas retangulares cada vez menores centrados no ponto até que a curva e a tangente pareçam indistinguíveis.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de cálculo juntos. O enunciado pede para encontrarmos a inclinação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar dois métodos diferentes: a definição de derivada e uma fórmula específica da derivada. Depois, vamos achar a equação dessa reta tangente e até fazer um gráfico para visualizar tudo direitinho. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos usar a Definição 1 da derivada, que é a definição de limite. Basicamente, a derivada de uma função no ponto é dada por:
Aqui, nossa função é e queremos encontrar a derivada no ponto . Vamos substituir esses valores na definição:
Vamos simplificar o numerador:
Agora, substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 3

Agora, vamos usar a Equação 2, que é a regra de derivação para polinômios. A regra diz que a derivada de é .
Nossa função é . Vamos derivar termo por termo:
Agora, substituímos para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto:

Passo 4

Agora que temos a inclinação da reta tangente, vamos encontrar a equação da reta tangente. A fórmula da equação da reta tangente em um ponto é:
Sabemos que , e . Substituindo esses valores:

Passo 5

Por fim, vamos fazer um gráfico da curva e da reta tangente perto do ponto . Para isso, podemos usar ferramentas gráficas como o GeoGebra ou até mesmo desenhar à mão. O importante é ajustar a janela de visualização para que fique bem centrada em e mostrar que, bem próximo a esse ponto, a reta tangente e a curva se parecem praticamente a mesma linha.

Resposta

A inclinação da reta tangente à curva no ponto é . A equação dessa reta tangente é .

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