Trace o gráfico da equação polar e encontre a área interna.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa traçar o gráfico da equação polar e encontrar a área interna. Isso envolve conhecimentos de coordenadas polares, trigonometria e cálculo de áreas em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representa a equação . Em coordenadas polares, é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo x. Essa equação descreve uma curva conhecida como cardioide.

Passo 3

Para traçar o gráfico, vamos calcular alguns valores de para diferentes valores de . Por exemplo:
  • Quando ,
  • Quando ,
Isso nos mostra que a curva começa a 4 unidades do centro quando e chega até o centro quando .

Passo 4

Agora, vamos traçar o gráfico. Como a função é uma cardioide, ela terá um ponto no lado positivo do eixo x e um “dedo” que toca o centro quando . Ao variar de 0 a , a curva completa uma forma de coração.

Passo 5

Para encontrar a área interna da cardioide, usamos a fórmula de área em coordenadas polares:
Aqui, .

Passo 6

Vamos calcular :
Agora, substituímos na integral:

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
Para , usamos a identidade :

Passo 8

Somando todos os resultados:

Resposta

A área interna da curva �� unidades de área.

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