Trace o gráfico da equação polar e encontre a área interna.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa traçar o gráfico da equação polar e encontrar a área interna. Isso envolve conhecimentos de coordenadas polares, trigonometria e cálculo de áreas em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que representa a equação . Em coordenadas polares, é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo x. Essa equação descreve uma curva conhecida como cardioide.
Passo 3
Para traçar o gráfico, vamos calcular alguns valores de para diferentes valores de . Por exemplo:
Quando ,
Quando ,
Isso nos mostra que a curva começa a 4 unidades do centro quando e chega até o centro quando .
Passo 4
Agora, vamos traçar o gráfico. Como a função é uma cardioide, ela terá um ponto no lado positivo do eixo x e um “dedo” que toca o centro quando . Ao variar de 0 a , a curva completa uma forma de coração.
Passo 5
Para encontrar a área interna da cardioide, usamos a fórmula de área em coordenadas polares: