Encontre a área entre as curvas
e
para
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar a área entre duas curvas polares:
e
, no intervalo de
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de áreas em coordenadas polares, que envolve integrar a diferença dos quadrados das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que estamos lidando. A curva
é um tipo de cardioide, que tem uma forma de coração, enquanto
é um círculo de raio 2. Queremos encontrar a área que está entre essas duas curvas no primeiro quadrante (
a
).
Passo 3
A fórmula para a área entre duas curvas polares
e
de
a
é dada por:
Aqui,
é a função que está mais longe do ponto de origem e
é a que está mais perto.
Passo 4
Vamos identificar qual curva está por cima no intervalo dado. Para
:
Então,
e
.
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula da área:
Vamos expandir
:
Subtraindo
(que é
):
Passo 6
Portanto, a integral fica:
Vamos dividir a integral:
Passo 7
Calculando cada parte:
- Para
, usamos a identidade :
Passo 8
Somando as duas partes:
Resposta
A área entre as curvas é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule a área da região entre as curvas
e
.
Calcule a área da região comum às curvas
e
.
Prove que a sequência
converge para zero.
Use o teste da integral para analisar a série
.