Encontre a área entre as curvas e para .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar a área entre duas curvas polares: e , no intervalo de . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de áreas em coordenadas polares, que envolve integrar a diferença dos quadrados das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que estamos lidando. A curva é um tipo de cardioide, que tem uma forma de coração, enquanto é um círculo de raio 2. Queremos encontrar a área que está entre essas duas curvas no primeiro quadrante ( a ).

Passo 3

A fórmula para a área entre duas curvas polares e de a é dada por:
Á
Aqui, é a função que está mais longe do ponto de origem e é a que está mais perto.

Passo 4

Vamos identificar qual curva está por cima no intervalo dado. Para :
Então, e .

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula da área:
Á
Vamos expandir :
Subtraindo (que é ):

Passo 6

Portanto, a integral fica:
Á
Vamos dividir a integral:
Á

Passo 7

Calculando cada parte:
  1. Para , usamos a identidade :

Passo 8

Somando as duas partes:
Á

Resposta

A área entre as curvas é unidades de área.

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Use o teste da integral para analisar a série .