Calcule a área da região entre as curvas
e
.
Passo 1
Vamos calcular a área da região entre as curvas
e
. Isso faz parte do estudo de Cálculo em coordenadas polares. Para resolver esse problema, vamos precisar usar integrais para encontrar a área entre curvas polares.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se interceptam, ou seja, onde
. Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se encontram quando
.
Passo 3
Sabendo os pontos de interseção, vamos determinar os limites de integração. Como
varia de 0 a 1 no intervalo de
a
, vamos integrar de
a
para cobrir toda a área entre as curvas.
Passo 4
A fórmula para a área
entre duas curvas polares
e
é:
Aqui,
e
. Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Resposta
A área da região entre as curvas
e
é:
Exercícios relacionados
Calcule a área da região comum às curvas
e
.
Trace o gráfico da equação polar
e encontre a área interna.
Encontre a área entre as curvas
e
para
.
Prove que a sequência
converge para zero.