Calcule a área da região entre as curvas e .

Passo 1

Vamos calcular a área da região entre as curvas e . Isso faz parte do estudo de Cálculo em coordenadas polares. Para resolver esse problema, vamos precisar usar integrais para encontrar a área entre curvas polares.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se interceptam, ou seja, onde . Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se encontram quando .

Passo 3

Sabendo os pontos de interseção, vamos determinar os limites de integração. Como varia de 0 a 1 no intervalo de a , vamos integrar de a para cobrir toda a área entre as curvas.

Passo 4

A fórmula para a área entre duas curvas polares e é:
Aqui, e . Substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos a identidade trigonométrica:
Então:

Resposta

A área da região entre as curvas e é:

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Calcule a área da região comum às curvas e .
Trace o gráfico da equação polar e encontre a área interna.
Encontre a área entre as curvas e para .
Prove que a sequência converge para zero.