Calcule a área da região cuja fronteira é definida pela reta
e pela parábola
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região delimitada pela reta
e pela parábola
. Vamos trabalhar com conceitos de geometria analítica e cálculo integral para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde a reta e a parábola se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Isso vai nos dar os limites de integração para calcular a área.
Passo 3
Vamos igualar as equações da reta e da parábola para encontrar esses pontos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 5
Resolvendo
, temos:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 6
Agora que temos os limites de integração (
e
), vamos identificar qual função está acima da outra nesse intervalo. Para isso, escolhemos um valor de
entre os limites, por exemplo,
:
Como
está acima de
nesse intervalo, a reta está por cima da parábola.
Passo 7
A área entre as duas curvas é dada pela integral da diferença das funções (reta menos parábola) de
a
:
Passo 8
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 9
Vamos calcular essa integral:
Agora, avaliamos de
a
:
Passo 10
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 11
Subtraindo os resultados:
Resposta
A área da região delimitada pela reta
e pela parábola
é
unidades de área.