Calcule a área da região cuja fronteira é definida pela reta y = 2 x e pela parábola y = (x + 1)² - 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região delimitada pela reta e pela parábola . Vamos trabalhar com conceitos de geometria analítica e cálculo integral para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde a reta e a parábola se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Isso vai nos dar os limites de integração para calcular a área.

Passo 3

Vamos igualar as equações da reta e da parábola para encontrar esses pontos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 5

Resolvendo , temos:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Agora que temos os limites de integração ( e ), vamos identificar qual função está acima da outra nesse intervalo. Para isso, escolhemos um valor de entre os limites, por exemplo, :
á
Como está acima de á nesse intervalo, a reta está por cima da parábola.

Passo 7

A área entre as duas curvas é dada pela integral da diferença das funções (reta menos parábola) de a :
Á

Passo 8

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Á

Passo 9

Vamos calcular essa integral:
Agora, avaliamos de a :
Á

Passo 10

Calculando cada parte:
Para :
Para :

Passo 11

Subtraindo os resultados:

Resposta

A área da região delimitada pela reta e pela parábola é unidades de área.

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