Calcule a área da região limitada pelo gráfico da função e pelo eixo .

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área da região que está entre o gráfico da função e o eixo . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente integrais, para encontrar a área limitada por essas curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde o gráfico da função cruza o eixo . Esses pontos de interseção são encontrados resolvendo a equação .

Passo 3

Vamos resolver . Podemos fatorar a expressão:
Agora, fatoramos o termo quadrático:
Portanto, as soluções são , e .

Passo 4

Com os pontos de interseção , e , sabemos que a função cruza o eixo nesses valores de . Agora, precisamos determinar em quais intervalos a função está acima ou abaixo do eixo , o que influencia no cálculo da área.

Passo 5

Vamos analisar o sinal da função em cada intervalo:
  • Para , escolhemos : (positivo).
  • Para , escolhemos : (negativo).
Isso significa que a função está acima do eixo de a e abaixo de a .

Passo 6

Para encontrar a área total, calculamos a integral da função nos intervalos onde ela está acima e abaixo do eixo, tomando o valor absoluto quando estiver abaixo.
Á

Passo 7

Vamos calcular cada integral:
Primeira integral:
Segunda integral:
Como a segunda área está abaixo do eixo, pegamos o valor absoluto:
Á

Resposta

A área da região limitada pelo gráfico da função e pelo eixo é 8 unidades de área.

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