Calcule a área da região que se localiza entre a curva e o eixo , para assumindo valores no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular a área da região que está entre a curva e o eixo , no intervalo de de a . Para isso, vamos usar o conceito de integração definida, que é uma ferramenta poderosa para encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde a curva cruza o eixo , ou seja, onde . Isso vai nos ajudar a dividir a área em partes que são positivas e negativas, facilitando o cálculo.
Vamos resolver :
Como nunca é zero (a função exponencial é sempre positiva), a única solução vem de , que dá .
Então, a curva cruza o eixo em .

Passo 3

Agora que sabemos que a função muda de sinal em , vamos dividir o intervalo de integração em duas partes:
  1. De a , onde será negativa.
  2. De a , onde será positiva.
Para encontrar a área total, vamos calcular a integral do valor absoluto da função nesses intervalos.

Passo 4

Vamos calcular as integrais em cada intervalo:
  1. De a :
    Como a função é negativa nesse intervalo, o valor absoluto vai inverter o sinal:
    Á
  2. De a :
    Aqui a função já é positiva, então a integral fica assim:
    Á

Passo 5

Vamos resolver a integral geral . Para isso, usamos integração por partes ou substituição:
Seja , então .
A integral fica:
Agora, aplicamos os limites de integração em cada parte.

Passo 6

Calculando Á:
Á
Substituindo os valores:
Á
Á
Calculando Á:
Á
Substituindo os valores:
Á

Passo 7

Agora, somamos as duas áreas para obter a área total:
ÁÁÁ

Resposta

A área da região entre a curva e o eixo no intervalo é:

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Calcule o valor da área da região do primeiro quadrante, situada entre as curvas e .
Determine a área da região situada entre a reta e a parábola de equação .