Calcule a área da região que se localiza entre a curva
e o eixo
, para
assumindo valores no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular a área da região que está entre a curva
e o eixo
, no intervalo de
de
a
. Para isso, vamos usar o conceito de integração definida, que é uma ferramenta poderosa para encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde a curva cruza o eixo
, ou seja, onde
. Isso vai nos ajudar a dividir a área em partes que são positivas e negativas, facilitando o cálculo.
Vamos resolver
:
Como
nunca é zero (a função exponencial é sempre positiva), a única solução vem de
, que dá
.
Então, a curva cruza o eixo
em
.
Passo 3
Agora que sabemos que a função muda de sinal em
, vamos dividir o intervalo de integração em duas partes:
- De
a , onde será negativa. - De
a , onde será positiva.
Para encontrar a área total, vamos calcular a integral do valor absoluto da função nesses intervalos.
Passo 4
Vamos calcular as integrais em cada intervalo:
-
De
a : Como a função é negativa nesse intervalo, o valor absoluto vai inverter o sinal: -
De
a : Aqui a função já é positiva, então a integral fica assim:
Passo 5
Vamos resolver a integral geral
. Para isso, usamos integração por partes ou substituição:
Seja
, então
.
A integral fica:
Agora, aplicamos os limites de integração em cada parte.
Passo 6
Calculando
:
Substituindo os valores:
Calculando
:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, somamos as duas áreas para obter a área total:
Resposta
A área da região entre a curva
e o eixo
no intervalo
é:
Exercícios relacionados
Calcule a área da região cuja fronteira é definida pela reta
e pela parábola
.
Calcule a área da região limitada pelo gráfico da função
e pelo eixo
.
Calcule o valor da área da região do primeiro quadrante, situada entre as curvas
e
.
Determine a área da região situada entre a reta
e a parábola de equação
.