Explique por que o Teste da Integral não pode ser usado para determinar se as séries abaixo é convergente ou não.
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Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A questão quer que a gente explique por que o Teste da Integral não pode ser usado para determinar se a série
é convergente ou não. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teste da Integral e em que situações ele é aplicável.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste é uma ferramenta usada para verificar a convergência de séries infinitas, mas ele só funciona para séries cujos termos são positivos, contínuos, e decrescentes. A ideia é comparar a série com uma integral equivalente para ver se ambas convergem ou divergem.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a série em questão:
. Note que os termos dessa série têm um fator
, o que faz com que os sinais dos termos alternem entre positivo e negativo.
Passo 4
Aqui está o problema: o Teste da Integral requer que todos os termos da série sejam positivos. No nosso caso, a presença de
faz com que os termos sejam positivos e negativos alternadamente. Isso quebra a condição necessária para aplicar o Teste da Integral.
Passo 5
Além disso, a série
(sem o
) é conhecida como a série p, que converge quando
. Porém, mesmo que conheçamos a convergência dessa parte, a alternância dos sinais significa que devemos usar um teste diferente, como o Teste da Série Alternada, para analisar a convergência da série original.
Resposta
O Teste da Integral não pode ser usado para determinar a convergência da série
porque essa série tem termos com sinais alternados, e o Teste da Integral só funciona para séries com termos positivos.
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Resolva cada inequação em
.
55. (a)
55. (a)
(b) Calcule a área da região entre as curvas
e
para
. (resposta
)
Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l25.
Calcule as integrais a seguir.