Calcule a área da região entre as curvas:
(b)
e
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região delimitada pelas curvas
e
. Esse tipo de problema faz parte da matéria de Cálculo, especificamente no estudo de integrais definidas para encontrar áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar os pontos de interseção das curvas e usar a integral para calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Isso acontece quando os valores de
são iguais, ou seja:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 3
Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos usar a fórmula mesmo:
Onde
,
e
. Substituindo:
Então, as soluções são:
Passo 4
Agora sabemos que as curvas se intersectam nos pontos onde
e
. Vamos visualizar qual curva está acima da outra nesse intervalo para determinar qual função subtrair de qual na integral.
Testando um valor entre -1 e 2, por exemplo,
:
Aqui,
está acima de
. Portanto, a curva
será a superior e
a inferior.
Passo 5
A área
entre as curvas é dada pela integral da diferença das funções superiores e inferiores em relação a
no intervalo de
a
:
Passo 6
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos do
. Avaliamos a antiderivada nos limites de
e
.
Passo 7
Primeiro, vamos avaliar em
:
Agora, em
:
Passo 8
Para encontrar a área total, subtraímos o valor em
do valor em
:
Resposta
A área da região entre as curvas
e
é
unidades de área, ou seja, 4,5 unidades².
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:
(e)
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(u)
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(d)
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(s)
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