Calcule, usando o método da substituição:
(s) integral x^31+x^4 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de x^31+x^4 em relação a x. Para isso, vamos usar o método da substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver.

Passo 2

No método da substituição, escolhemos uma função dentro da integral que, ao ser substituída por uma nova variável, simplifica a expressão. Aqui, vamos escolher u = 1 + x^4. Isso porque o denominador 1 + x^4 é uma boa candidata para substituição.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x, ou seja, du/dx. Derivando u = 1 + x^4, obtemos:
dudx = 4x^3
Isso significa que:
du = 4x^3 dx
Podemos rearranjar para encontrar x^3 dx:
x^3 dx = du4

Passo 4

Substituímos u e x^3 dx na integral original:
integral x^31+x^4 dx = integral 1u cdot du4 = 14 integral 1u du
Aqui, simplificamos a integral dividindo por 4.

Passo 5

A integral de 1u du é uma integral básica que sabemos que é o logaritmo natural:
integral 1u du = ln|u| + C
Portanto:
14 integral 1u du = 14 ln|u| + C

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original x substituindo u = 1 + x^4:
14 ln|1 + x^4| + C
Como 1 + x^4 é sempre positivo, podemos remover as barras de valor absoluto:
14 ln(1 + x^4) + C

Resposta

A integral de x^31+x^4 dx é:
14 ln(1 + x^4) + C

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Verifique, por derivação, que a fórmula está correta:
(e) integral 2 x^2+x^2 raizx-1x^2 d x=2 x+23 x^3 / 2+1x+C
Calcule a área da região entre as curvas:
© x = y^2 e x + 2y^2 = 3
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