Calcule a área da região entre as curvas:
(d) x = y^3 - y^2 e x = 2 y

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área da região entre as curvas e . Aqui, estamos trabalhando com integrais definidas para encontrar a área entre duas curvas. Vamos precisar descobrir onde essas curvas se encontram para determinar os limites de integração e, em seguida, integrar a diferença entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :
Isso nos dá ou .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática :
Então, ou .

Passo 5

Os pontos de interseção são , e . Vamos verificar qual curva está acima da outra em cada intervalo:
  • Para entre -1 e 0
  • Para entre 0 e 2

Passo 6

Vamos calcular para alguns valores dentro desses intervalos para ver qual curva está acima:
  • Por exemplo, para :
    Aqui, está acima de .

Passo 7

Agora, sabemos que entre e , a curva está acima de . A área entre elas será a integral da diferença das funções dentro desses limites.

Passo 8

A fórmula para a área é:
Aqui, e , com e .

Passo 9

Substituindo na fórmula:

Passo 10

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então,

Passo 11

Vamos calcular essa expressão para :
E para :

Passo 12

Agora, subtraímos os valores:

Resposta

A área da região entre as curvas e é unidades de área.

Exercícios relacionados

Calcule a área da região entre as curvas:
(f) y = x^4 - 4x^2 + 4 e y = x^2
Calcule as integrais definidas:
(t) integral-2^0 x^2(x^3-2)^2 d x
Calcule:
(j) integral(6 x^2+4 x+5) d x
Calcule, usando o método da substituição:
(d) integral d x5-3 x d x