Calcule a área da região entre as curvas:
(d)
e
(d)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área da região entre as curvas
e
. Aqui, estamos trabalhando com integrais definidas para encontrar a área entre duas curvas. Vamos precisar descobrir onde essas curvas se encontram para determinar os limites de integração e, em seguida, integrar a diferença entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
:
Isso nos dá
ou
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
:
Então,
ou
.
Passo 5
Os pontos de interseção são
,
e
. Vamos verificar qual curva está acima da outra em cada intervalo:
- Para
entre -1 e 0 - Para
entre 0 e 2
Passo 6
Vamos calcular
para alguns valores dentro desses intervalos para ver qual curva está acima:
-
Por exemplo, para
: Aqui,está acima de . -
Passo 7
Agora, sabemos que entre
e
, a curva
está acima de
. A área entre elas será a integral da diferença das funções dentro desses limites.
Passo 8
A fórmula para a área
é:
Aqui,
e
, com
e
.
Passo 9
Substituindo na fórmula:
Passo 10
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então,
Passo 11
Vamos calcular essa expressão para
:
E para
:
Passo 12
Agora, subtraímos os valores:
Resposta
A área da região entre as curvas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule a área da região entre as curvas:
(f) e
(f)
Calcule as integrais definidas:
(t)
(t)
Calcule:
(j)
(j)
Calcule, usando o método da substituição:
(d)
(d)