Calcule as integrais definidas:
(t) integral-2^0 x^2(x^3-2)^2 d x

Passo 1

No enunciado, precisamos calcular a integral definida . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de substituição para simplificar integrais.

Passo 2

Vamos começar identificando uma substituição que facilite a integral. Observando o denominador , podemos escolher .

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de dudx = 3x^2 Rightarrow du = 3x^2 dx em relação a :

Passo 4

Isolando x^2 dx = du3 , temos:

Passo 5

Substituímos integral x^2(x^3 - 2)^2 dx = integral 1u^2 cdot du3 = 13 integral u^-2 du e na integral original:

Passo 6

Integrando integral u^-2 du = -u^-1 + C :
13 integral u^-2 du = -13u + C
Portanto:

Passo 7

Voltando para a variável original -13u = -13(x^3 - 2) :

Passo 8

Aplicamos os limites de integração de integral-2^0 x^2(x^3 - 2)^2 dx = [ -13(x^3 - 2) ]-2^0 a :

Passo 9

Calculando nos limites:
  • Para -13(0^3 - 2) = -1-6 = 16 :
-13((-2)^3 - 2) = -13(-8 - 2) = -1-30 = 130
  • Para :

Passo 10

Subtraindo os valores:
16 - 130 = 530 - 130 = 430 = 215

Resposta

O valor da integral definida é .

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