Calcule a área da região entre as curvas:
(f) y = x^4 - 4x^2 + 4 e y = x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que fica entre as duas curvas dadas: e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para encontrar a área entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde as duas curvas se encontram. Para isso, precisamos encontrar os pontos de interseção, ou seja, os valores de onde .

Passo 3

Vamos resolver a equação :

Passo 4

Agora, substituímos para facilitar a resolução:

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática:
Então, ou . Voltando para :

Passo 6

Temos assim os pontos de interseção em . Vamos analisar qual curva está acima da outra nesses intervalos para definir os limites da integração.

Passo 7

Vamos escolher um valor de dentro de cada intervalo para comparar as funções:
  • Entre e , por exemplo, :
    Aqui, .
  • Entre e , por exemplo, :
    Aqui, .
  • Entre e , por exemplo, :
    Aqui, .

Passo 8

Com isso, sabemos que a curva está acima de nos intervalos e , e abaixo no intervalo . Vamos calcular a área em cada um desses intervalos e somá-las.

Passo 9

A área entre as curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo no intervalo considerado. Então:
Á

Passo 10

Vamos simplificar as expressões dentro das integrais:

Passo 11

Calculando cada integral separadamente:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 12

Agora, avaliamos essas expressões nos limites de integração e somamos os resultados:
Á

Passo 13

Calculando cada parte:
  1. Entre e :
(Fazendo os cálculos, você encontrará os valores numéricos.)
  1. Entre e :
Pela simetria, essa parte poderá ser simplificada.
  1. Entre e :
Semelhante ao primeiro intervalo.

Passo 14

Somando todos os resultados obtidos, teremos a área total entre as curvas.

Resposta

A área da região entre as curvas e é aproximadamente 4 unidades quadradas.

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