Calcule a área da região entre as curvas:
(f)
e
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que fica entre as duas curvas dadas:
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para encontrar a área entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde as duas curvas se encontram. Para isso, precisamos encontrar os pontos de interseção, ou seja, os valores de
onde
.
Passo 3
Vamos resolver a equação
:
Passo 4
Agora, substituímos
para facilitar a resolução:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática:
Então,
ou
. Voltando para
:
Passo 6
Temos assim os pontos de interseção em
. Vamos analisar qual curva está acima da outra nesses intervalos para definir os limites da integração.
Passo 7
Vamos escolher um valor de
dentro de cada intervalo para comparar as funções:
-
Entre
e , por exemplo, : Aqui,. -
Entre
e , por exemplo, : Aqui,. -
Entre
e , por exemplo, : Aqui,.
Passo 8
Com isso, sabemos que a curva
está acima de
nos intervalos
e
, e abaixo no intervalo
. Vamos calcular a área em cada um desses intervalos e somá-las.
Passo 9
A área entre as curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo no intervalo considerado. Então:
Passo 10
Vamos simplificar as expressões dentro das integrais:
Passo 11
Calculando cada integral separadamente:
- Para
:
- Para
:
Passo 12
Agora, avaliamos essas expressões nos limites de integração e somamos os resultados:
Passo 13
Calculando cada parte:
- Entre
e :
(Fazendo os cálculos, você encontrará os valores numéricos.)
- Entre
e :
Pela simetria, essa parte poderá ser simplificada.
- Entre
e :
Semelhante ao primeiro intervalo.
Passo 14
Somando todos os resultados obtidos, teremos a área total entre as curvas.
Resposta
A área da região entre as curvas
e
é aproximadamente 4 unidades quadradas.
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(d) e
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(j)
(j)