Calcule a área da região entre as curvas (dadas na forma paramétrica):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área entre duas curvas dadas de forma paramétrica. Vamos utilizar conceitos de cálculo integral e geometria analítica. Para isso, precisamos entender as equações paramétricas das duas curvas e encontrar os pontos de interseção para determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das duas curvas:
Primeira curva:
Essa é a equação paramétrica de uma astroida, que é uma curva fechada com quatro pontas.
Segunda curva:
Essa é a equação paramétrica de um círculo de raio 2.
Passo 3
Para encontrar a área entre as duas curvas, precisamos determinar onde elas se interceptam. Isso acontece quando os pontos das duas curvas são iguais, ou seja:
Simplificando:
Isso significa que:
Portanto, as soluções são quando ou , e ou .
Passo 4
Analisando essas soluções no intervalo , encontramos que as curvas se intersectam quando , , , e .
Passo 5
Agora, para calcular a área entre as curvas, usamos a fórmula da área entre duas curvas paramétricas:
Onde:
e são as funções da primeira curva,
e são as funções da segunda curva,
e são os limites de integração (pontos de interseção).
Passo 6
Calculando as derivadas:
Para a primeira curva:
Para a segunda curva:
Passo 7
Substituindo na fórmula da área:
Simplificando:
Passo 8
Podemos simplificar ainda mais usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
E:
Substituindo essas expressões na integral:
Simplificando mais:
Passo 9
Agora, integramos termo a termo:
Passo 10
Somando as integrais:
Mas isso indica que a área total se cancela devido à simetria das curvas. Para encontrar a área verdadeira entre as curvas, devemos considerar áreas positivas. Portanto, calculamos a área de um quarto do ciclo e multiplicamos por 4.
Passo 11
Calculando a área de a :
Usando as simplificações anteriores:
Integrando:
Parece que houve um erro na abordagem. Vamos recalcular usando a fórmula correta para a área entre duas curvas paramétricas:
Passo 12
Substituindo as funções:
Usando identidades trigonométricas:
Substituindo:
Integrando:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área da região entre as duas curvas é unidades de área.