Calcule a área da região entre as curvas (dadas na forma paramétrica):

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área entre duas curvas dadas de forma paramétrica. Vamos utilizar conceitos de cálculo integral e geometria analítica. Para isso, precisamos entender as equações paramétricas das duas curvas e encontrar os pontos de interseção para determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das duas curvas:
  1. Primeira curva:
Essa é a equação paramétrica de uma astroida, que é uma curva fechada com quatro pontas.
  1. Segunda curva:
Essa é a equação paramétrica de um círculo de raio 2.

Passo 3

Para encontrar a área entre as duas curvas, precisamos determinar onde elas se interceptam. Isso acontece quando os pontos das duas curvas são iguais, ou seja:
Simplificando:
Isso significa que:
Portanto, as soluções são quando ou , e ou .

Passo 4

Analisando essas soluções no intervalo , encontramos que as curvas se intersectam quando , , , e .

Passo 5

Agora, para calcular a área entre as curvas, usamos a fórmula da área entre duas curvas paramétricas:
Onde:
  • e são as funções da primeira curva,
  • e são as funções da segunda curva,
  • e são os limites de integração (pontos de interseção).

Passo 6

Calculando as derivadas:
Para a primeira curva:
Para a segunda curva:

Passo 7

Substituindo na fórmula da área:
Simplificando:

Passo 8

Podemos simplificar ainda mais usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
E:
Substituindo essas expressões na integral:
Simplificando mais:

Passo 9

Agora, integramos termo a termo:

Passo 10

Somando as integrais:
Mas isso indica que a área total se cancela devido à simetria das curvas. Para encontrar a área verdadeira entre as curvas, devemos considerar áreas positivas. Portanto, calculamos a área de um quarto do ciclo e multiplicamos por 4.

Passo 11

Calculando a área de a :
Usando as simplificações anteriores:
Integrando:
Parece que houve um erro na abordagem. Vamos recalcular usando a fórmula correta para a área entre duas curvas paramétricas:

Passo 12

Substituindo as funções:
Usando identidades trigonométricas:
Substituindo:
Integrando:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:

Resposta

A área da região entre as duas curvas é unidades de área.

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