Calcule a área da região entre as curvas (dadas na forma paramétrica):
l x = 2 operatorname c o s ^ 3 t y = 2 operatorname s e n ^ 3 t e l x=2 cos t y=2 sen t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área entre duas curvas dadas de forma paramétrica. Vamos utilizar conceitos de cálculo integral e geometria analítica. Para isso, precisamos entender as equações paramétricas das duas curvas e encontrar os pontos de interseção para determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das duas curvas:
  1. Primeira curva:
Essa é a equação paramétrica de uma astroida, que é uma curva fechada com quatro pontas.
  1. Segunda curva:
Essa é a equação paramétrica de um círculo de raio 2.

Passo 3

Para encontrar a área entre as duas curvas, precisamos determinar onde elas se interceptam. Isso acontece quando os pontos das duas curvas são iguais, ou seja:
Simplificando:
Isso significa que:
Portanto, as soluções são quando 2 cos^3 t = 2 cos t e 2 sen^3 t = 2 sen t ou cos^3 t = cos t e sen^3 t = sen t , e ou .

Passo 4

Analisando essas soluções no intervalo , encontramos que as curvas se intersectam quando , , , e .

Passo 5

Agora, para calcular a área entre as curvas, usamos a fórmula da área entre duas curvas paramétricas:
A = 12 integrala^b (x1(t) y2'(t) - x2(t) y1'(t)) dt
Onde:
  • e são as funções da primeira curva,
  • e são as funções da segunda curva,
  • e são os limites de integração (pontos de interseção).

Passo 6

Calculando as derivadas:
Para a primeira curva:
Para a segunda curva:

Passo 7

Substituindo na fórmula da área:
Simplificando:

Passo 8

Podemos simplificar ainda mais usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
cos^4 t = (cos^2 t)^2 = (1 + cos 2t2)^2 = 38 + 12 cos 2t + 18 cos 4t
E:
Substituindo essas expressões na integral:
cos^2 t sen^2 t = (cos t sen t)^2 = 14 sen^2 2t = 18 (1 - cos 4t)
Simplificando mais:
A = 12 integral0^2pi (4(38 + 12 cos 2t + 18 cos 4t) - 12 (18 (1 - cos 4t)) ) dt
A = 12 integral0^2pi (128 + 2 cos 2t + 48 cos 4t - 128 + 128 cos 4t ) dt

Passo 9

Agora, integramos termo a termo:

Passo 10

Somando as integrais:
A = 12 (0 + 0) = 0
Mas isso indica que a área total se cancela devido à simetria das curvas. Para encontrar a área verdadeira entre as curvas, devemos considerar áreas positivas. Portanto, calculamos a área de um quarto do ciclo e multiplicamos por 4.

Passo 11

Calculando a área de Aquarto = 12 integral0^pi2 (4 cos^4 t - 12 cos^2 t sen^2 t ) dt a Aquarto = 12 integral0^pi2 (2 cos 2t + 2 cos 4t ) dt :
Usando as simplificações anteriores:
Aquarto = 12 [ sen 2t + sen 4t2 ]0^pi2 = 12 ( sen pi + sen 2pi2 - 0 - 0 ) = 0
Integrando:
Parece que houve um erro na abordagem. Vamos recalcular usando a fórmula correta para a área entre duas curvas paramétricas:
A = integrala^b (y2(t) - y1(t)) x'(t) dt

Passo 12

Substituindo as funções:
Usando identidades trigonométricas:
Substituindo:
A = integral0^2pi (2 sen t - 2 sen^3 t ) (-2 sen t) dt = integral0^2pi (-4 sen^2 t + 4 sen^4 t ) dt
sen^2 t = 1 - cos 2t2, sen^4 t = (1 - cos 2t2)^2 = 38 - cos 2t2 + cos 4t8
A = integral0^2pi (-4 (1 - cos 2t2) + 4 (38 - cos 2t2 + cos 4t8) ) dt
Integrando:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
A = integral0^2pi (-2 + 2 cos 2t + 128 - 2 cos 2t + 48 cos 4t ) dt

Resposta

A área da região entre as duas curvas é unidades de área.

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