Calcule os seguintes limites: lim h 0 cos (x+h)-cos xh

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite . Esse problema está relacionado ao estudo dos limites, que é uma parte fundamental do cálculo, especialmente quando estamos interessados em entender como uma função se comporta quando sua variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e as propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão cos(x + h) = cos x cos h - sin x sin h . Para isso, usamos a fórmula de adição de cosseno:
Essa identidade nos ajuda a quebrar a expressão em partes que são mais fáceis de lidar quando estivermos calculando o limite.

Passo 3

Substituindo a expressão de cos(x + h) - cos xh = cos x cos h - sin x sin h - cos xh na fórmula original, temos:
Agora, vamos separar os termos semelhantes para simplificar ainda mais.

Passo 4

Rearranjando os termos, obtemos:
cos x (cos h - 1) - sin x sin hh
Podemos dividir essa expressão em duas frações:
cos x (cos h - 1)h - sin x sin hh
Isso nos ajuda a lidar com cada parte separadamente ao calcular o limite.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de cada termo separadamente enquanto limh to 0 cos x (cos h - 1)h se aproxima de 0:
limh to 0 sin x sin hh
e
Sabemos que e que .

Passo 6

Aplicando esses limites, temos:
cos x cdot 0 - sin x cdot 1 = -sin x
Portanto, o limite toda a expressão se simplifica para .

Resposta

lim h 0 cos (x+h)-cos xh = -sin x

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