Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o limite
. Esse problema está relacionado ao estudo dos limites, que é uma parte fundamental do cálculo, especialmente quando estamos interessados em entender como uma função se comporta quando sua variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e as propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Para isso, usamos a fórmula de adição de cosseno:
Essa identidade nos ajuda a quebrar a expressão em partes que são mais fáceis de lidar quando estivermos calculando o limite.
Passo 3
Substituindo a expressão de
na fórmula original, temos:
Agora, vamos separar os termos semelhantes para simplificar ainda mais.
Passo 4
Rearranjando os termos, obtemos:
Podemos dividir essa expressão em duas frações:
Isso nos ajuda a lidar com cada parte separadamente ao calcular o limite.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de cada termo separadamente enquanto
se aproxima de 0:
e
Sabemos que
e que
.
Passo 6
Aplicando esses limites, temos:
Portanto, o limite toda a expressão se simplifica para
.