Determine as constantes
e
para que
seja derivável em
.
Resposta:
e
.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as constantes
e
de uma função
de modo que
seja derivável em
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de derivadas e continuidade. Para resolver, vamos precisar garantir que a função seja contínua em
e que as derivadas dos lados esquerdo e direito nesse ponto sejam iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto. Então, vamos garantir que
seja contínua em
. Isso significa que o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 1 pela direita, que também deve ser igual ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos supor que a função
seja definida de forma diferente para
e
. Por exemplo:
Como não temos mais detalhes, vamos focar na continuidade e na derivabilidade.
Passo 4
Para garantir a continuidade em
, igualamos os limites:
Substituindo na primeira parte da função:
Passo 5
Agora, para a derivabilidade, as derivadas pelos lados esquerdo e direito devem ser iguais em
.
A derivada da função para
é:
E para
:
Igualando as derivadas:
Passo 6
Vamos supor que para
, a função seja simplesmente
. Assim, os coeficientes dessa parte são
e
.
Substituindo na Equação 2:
Passo 7
Agora, usamos o valor de
na Equação 1:
Resposta
Portanto, as constantes que garantem que
seja derivável em
são
e
.
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Indique o dominio da função
definida por
Calcule a área da região entre as curvas (dadas na forma paramétrica):
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é continua em 0,1 e 2. Justifique sua resposta (não precisa justificar o cálculo dos limites).