Determine as constantes e para que seja derivável em .
Resposta: e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as constantes e de uma função de modo que seja derivável em . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de derivadas e continuidade. Para resolver, vamos precisar garantir que a função seja contínua em e que as derivadas dos lados esquerdo e direito nesse ponto sejam iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto. Então, vamos garantir que seja contínua em . Isso significa que o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita, que também deve ser igual ao valor da função em .

Passo 3

Vamos supor que a função seja definida de forma diferente para e . Por exemplo:
Como não temos mais detalhes, vamos focar na continuidade e na derivabilidade.

Passo 4

Para garantir a continuidade em , igualamos os limites:
Substituindo na primeira parte da função:
çã

Passo 5

Agora, para a derivabilidade, as derivadas pelos lados esquerdo e direito devem ser iguais em .
A derivada da função para é:
E para :
Igualando as derivadas:
çã

Passo 6

Vamos supor que para , a função seja simplesmente . Assim, os coeficientes dessa parte são e .
Substituindo na Equação 2:

Passo 7

Agora, usamos o valor de na Equação 1:

Resposta

Portanto, as constantes que garantem que seja derivável em são e .

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